Aussagen wahr oder falsch zu Permutation und Abzählbarkeit/Injektiv

Question

a) In der Gruppe Σ 5 gelten die Gleichungen (1 2)◦(1 3 4 2 5) = (1 3 4)◦(2 5) und (132)=(213).

b) Wenn X eine abzählbare Menge ist, dann ist U_X:={f :X→Xist injektiv} eine Gruppe bezüglich der Komposition genau dann, wenn X endlich ist

Kann mir jemand sagen ob diese Aussagen falsch oder wahr sind und wie ich das zeigen kann?

Answer 1

a) Ausrechnen

b) Für X = ℕ hat die Umkehrfunktion von f: X→X, x ↦ 2x nicht X als Definitionsbereich. Jede Erweiterung des Definitionsbereichs der Umehrfunktion führt zu einer nicht-injektiven Funktion.