Ist der Grenzwert Teil einer Menge?

Question

Ich verstehe nicht ganz ob der Grenzwert Teil einer Menge ist. Beispiel:

x∈ℝ: ∃n∈ℕ x= n² oder x = 1/ n³

Im ersten Fall wäre der lim n->∞ = ∞. Ist der Grenzwert "unendlich" nun Teil der Menge R?

Und im zweiten: lim n->∞=0 Hier ist der Grenzwert eine eigentliche Zahl aber die Funktion erreicht ja diesen Wert erst in in der uneigentlichen Zahl "unendlich".

Im zweiten Bsp. wäre ja dann das Supremum/Maximum = 1 und das Infinum = 0 aber ob die Menge aber ein Minimum hat ist mir nicht ganz klar.

Answer 1

"Unendlich" ist gar kein Grenzwert. Man sagt: die Folge \(\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) mit \(a_n=n^2\) divergiert bestimmt, denn \(\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\). Diese Folge hat also gar keinen Grenzwert (sie konvergiert nicht).

Die Folge \(\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) mit \(b_n=\frac{1}{n^3}\) jedoch hat einen Grenzwert, dieser ist \(\lim_{n\to\infty}b_n=0\) (die Folge konvergiert).

Das ist auch das Infimum der Menge \\(\left\{\frac{1}{n^3}\Bigg|n\in\mathbb{N}\right\}\). Jedoch ist der Grenzwert kein Element dieser Menge, denn die Folge erreicht diesen Grenzwert nie. Also ist es auch kein Minimum.