Grenzwertbestimmung für n gegen Unendlich von einem Bruch mit Wurzel

Question

ich hänge im Moment bei folgender Aufgabe fest. Ich muss den Grenzwert von n → ∞ für die folgende Funktion bestimmen. Das Ganze natürlich schriftlich und ich komm einfach nicht auf die Lösung. Bei meinen Versuchen habe ich immer Probleme mit der Wurzel.

                √(n^2+2n+2) +4n-5
lim      ( ------------------------------)
n→∞                    n+5

Answer 1

              √(n^{2}+2n+2) +4n-5
lim      ( ------------------------------)              | kürzen mit n
n→∞                    n+5

                √(1+2/n+2/n^2) +4-5/n 
= lim      ( ------------------------------)
   n→∞                    1+5/n 

                √(1+0+0) +4-0 
=       ( ------------------------------)
                     1+ 0

                       5
=      ( ------------------------------)
                         1

= 5

(ohne Gewähr)

Comments

Bei meinen Versuchen habe ich immer Probleme mit der Wurzel.

Erster Schritt bei der Wurzel nochmals genauer:

( √(n^2+2n+2) / n  )

=  √((n^2+2n+2) / n^2  )

=  √(n^2/n^2 +(2n)/n^2 +2/n^2 )

=  √(1 + 2/n + 2/n^2)

---

Vielen Dank, das hat mir einfach keine Ruhe gelassen.

Ich stand wirklich auf dem Schlauch mit der Wurzel...
Ich bin einfach nicht darauf gekommen, das n als n^2 mit in die Wurzel zu ziehen...

Vielen Dank nochmal.

Answer 2

  Ich weisebesonders darauf hin, dass die beiden Grenzwerte getrennt konvergieren.  Ich gehe über die Krankenhausregel. Rechts von der Wurzel

                 4 n - 5

      lim    -------------------   =  4      (  1  )

                   n  +  5

     und unter der Wurzel

                1 + ( n + 1 ) ²

    lim    --------------------------   =       (  2a  )    

                  ( n + 5 ) ²

                         n + 1

         =  lim     -------------   =  1         (  2b  )

                        n + 5