Grenzwertbestimmung 5n^2 - 4n - 1 / n (n - 1) für n → unendlich

Question

Aufgabe:

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{5n^2 - 4n - 1}{n(n-1)}$$

Problem/Ansatz:

Hallo alle miteinander. Mein VWL Studium fängt an und da ich im Abitur Mathe bloß als Grundkurs hatte, wollte ich vorab ein paar wichtige Themen auffrischen bzw. mir überhaupt erstmal neu aneignen. An der oben genannten Aufgabe sitze ich seit gestern Abend und ich komme auf keinen Lösungsweg. Selbst das reinkommen kriege ich nicht hin. Ich habe mir mittlerweile mehrere Videos angeschaut, in meinen Büchern gelesen (da wird das allerdings zu kompliziert erklärt) und verstehe es immer noch nicht, was es mit den Grenzwerten auf sich hat und wie ich die berechne. Vielleicht kann mir jemand beispielhaft bei dieser Aufgabe helfen, indem man auch die einzelnen Schritte erklärt. Mein erster Ansatz ist ständig das suchen nach binomischen Formeln, um den Term dann zu vereinfachen, aber dann komme ich irgendwann an einen Punkt an dem es keinen Sinn mehr macht...

Ich wäre für jede Hilfe äußerst dankbar!

Answer 1

(5·n^2 - 4·n - 1)/(n·(n - 1))

= (5·n^2 - 4·n - 1)/(n^2 - n)

Kürze durch n^2. D.h. teile Zähler und Nenner durch n^2.

= (5 - 4/n - 1/n^2)/(1 - 1/n)

für n --> ∞

= (5 - 0 - 0)/(1 - 0) = 5

Comments

Danke für die Antwort.

Die vierte Zeile verstehe ich nicht. Dass aus 5n²/n² =5 ist mir klar, aber wie sich der Rest danach verhält ist mir unklar...

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ok ich glaube ich habe es verstanden. weil n gegen unendlich und wenn ich irgendeine zahl durch n (also unendlich groß) teile, dann wird der wert immer näher an 0 rankommen und deshalb spielt es quasi keine rolle, solange der exponent im nenner höher ist als der im zähler. richtig?

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Was sind denn

4·n / n^2 = ...

1 / n^2 = ...

n^2 / n^2 = ...

n / n^2 = ...

Und ja. Solange die Potenz von n im Nenner größer ist als im Zähler geht der Ausdruck gegen 0, wenn n unendlich groß wird.

Answer 2

Zerlege den Nenner in ein Produkt, Tipp Nullstellen bestimmen mit pq-Formel. Dann kann man was kürzen.

Answer 3

Mit 1/n^2 erweitern. Dann sieht man sofort, dass der Grenzwert 5 ist.

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Ich sehe das ehrlich gesagt nicht direkt. Kannst du mir vielleicht einen tip geben o.Ä. wie ich das erkenne.

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Das ist so ein generelles Vorgehen:

Man erweitert mit der höchsten Potenz von n.

Dann bleibt nur die höchste Potenz ohne n stehen. Alles andere hat ein n im Nenner und fällt dadurch weg gegen Unendlich.

Hier bliebe also 5/1 stehen.

Answer 4

Mit Hospital:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{5n^2 -4n-1  }{n^2-n} \) →\( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{10n-4 }{2n-1} \)→\( \frac{10}{2} \)=5

mfG

Moliets

Comments

Das hatte ich noch nicht aber auf einen ungeschulten ersten Blick schaut der zweite Block wie die erste Ableitung des ersten aus, ist das richtig?

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Ableitung ist schon mal richtig. Aber bei Hospital wird nur der Zähler und der Nenner für sich abgeleitet. Für Grenzwertbestimmungen ist aber die Regel von Hospital nicht immer anwendbar.

mfG

Moliets