Wie kann man die Taylorreihe von (1-cos(x))² ohne Ableitungen entwickeln?

Question

 

wenn man die Taylor-Reihe zu Cos(x) kennt, kann man die Reihe zu (1-cos(x))² ja auch hinschreiben:

 

cos(x)=1- x²/2 + (x^4)/24......

 

Daraus folgt:

(1-cos(x)²= [1-  (1-x²/2 + (x^4)/24......)]²

=(x²/2- (x^4)/24.....)²#

 

Man quadriert hier ja quasi eine Reihe. Kann man das noch irgendwie vereinfachen, oder geht das ohne explizites Ausrechnen der Ableitungen und der Koeffizienten nicht?

Answer 1

bei deinen aufgeführten Summanden (1, -x^2/2 und x^4/24 ) sind aber alle verschwindenen Ordnungen

Answer 2

Eine Möglichkeit wäre folgende:

(1 - cos(x))² = 1 - 2cos(x) + cos²(x) = 3/2 - 2cos(x) - 1/2 + cos²(x) = 3/2 - 2cos(x) + 1/2cos(2x).

Kennt man die Reihe für cos(x), dann kennt man auch die Reihe für cos(2x) und man muss nur noch zwei Reihen summandenweise addieren.