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Die Angabe lautet:  Berechne die Taylorreihe zu f in a und bestimme den Konvergenzradius.   (i)  f(x) = cos(x), a=1   (ii) f(x) = log(x), a=2  (iii) f(x) = log(cos(x)), a=0  zu (iii) habe ich die Taylorreihe wie folgend berechnet:   $$ f'(x)\quad =\quad \frac { sin(x) }{ cos(x) } $$$$ f''(x)\quad =\quad \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }(x) }  $$$$ f'''(x)\quad =\quad 2*\frac { sin(x) }{ cos(x) }  $$$$ { f }^{ (4) }\quad =\quad 2*\frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }(x) } \quad usw. $$$$ { f }^{ (n) }\quad =\quad \begin{cases} \frac { sin(x) }{ cos(x) } { 2 }^{ (n-1) } & für\quad n\quad ungerade \\ \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }(x) } { 2 }^{ \left( \frac { n }{ 2 } -1 \right)  } & für\quad n\quad gerade \end{cases} $$Dann sieht die Taylorreihe so aus:$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { a }_{ n } }{ n! } { \left( x-1 \right)  }^{ n } }  $$$$ { a }_{ n }\quad =\quad \begin{cases} \frac { sin(x) }{ cos(x) } *{ 2 }^{ (n-1) } & für\quad n\quad ungerade \\ \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }(x) } *{ 2 }^{ \left( \frac { n }{ 2 } -1 \right)  } & für\quad n\quad gerade \end{cases} $$Stimmt das soweit?  Wie kann ich den Konvergenzradius berechnen? Schritt für Schritt bitte!
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1 Antwort

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nicht ganz:  Denn Abl. von cos ist  - sin   also  ist f ' (x) =  - sin(x) / cos(x)  =  - tan(x)

Und für die Taylorreihe von tan siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_und_Kotangens#Reihenentwicklung

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