Eindeutigkeit der Adjungierten

Question

In Prüfungsprotokollen kommt immer wieder die Frage auf, warum denn die Adjungierte eindeutig sei.

Sei f:V->V ein Endomorphismus von V. Dann ist f*:V->V die Adjungierte von f, wenn

<f*(v),w> = <v,f(w)>

Dieses * bedeutet ja komplex konjugiert, oder?

und warum fällt des dann weg? Wegen der Semilinearität im ersten Argument oder verwechsel ich da was.

Die eigentliche Frage ist, warum jetzt die Adjungierte f* eindeutig ist.

Selbstadjungiert ist die Abbildung ja, wenn f*=f, oder?

Danke für die Antworten

Answer 1

Dieses * bedeutet ja komplex konjugiert, oder?

Nein, in der Mathematik bezeichnet der Stern in der Regel die Adjungierte Abbildung. Im einfachsten Fall (also f ist durch eine Matrix darstellbar) ist das die komplex konjugiert - transponierte Matrix.

und warum fällt des dann weg?

<f*(v),w> = <v,f(w)>

ist die Definition der Adjungierten.

Beachte, dass links f^* auf v wirkt und rechts f auf w.

Die eigentliche Frage ist, warum jetzt die Adjungierte f* eindeutig ist.

Wird hier bewiesen:

https://de.m.wikiversity.org/wiki/Adjungierter_Endomorphismus/Einführung/Textabschnitt