Wie könnte ich von hier aus die Existenz oder Eindeutigkeit von Lösung zeigen?

Question

Aufgabe:

DGL: x^''(t) + t⁴x^'(t) - [1+(x(t))²]^-1 = |t|

Anfangswerte: x(0) = x₀ , x'(0) = x₁

Nun soll ich sie in ein Anfangswertproblem erster Ordnung umschreiben und die existenz und Eindeutigkeit der Lösungen zeigen.

Problem/Ansatz:

Ich habe jetzt erstmal x⁰ := x und x¹ := (x⁰)^' definiert.

Durch einsetzen habe ich dann das Folgende DGL-System erster Ordnung erhalten:

(x⁰)'= x¹

(x¹)^' = t⁴ x¹(t) - [1+(x⁰(t))²]^-1 - |t|

Jetzt weiß ich aber leider nicht weiter.

Wie könnte ich von hier aus die Existenz oder Eindeutigkeit von Lösungen zeigen?