Grenzwerte zweier Funktionen und deren Metrik

Question

                                               

Es sei (X, d), X ≠ 0 ein metrischer Raum und x_n und y_n (beide n∈ℕ) Folgen in X.

Zu zeigen; es gibt ein a ∈ X, dass

lim x_n=a=lim y_{n ⇒} lim d(x_n,y_n) = 0

Gilt auch das Umgekehrte?

                                               

meine Gedanke dazu;

lim x_n=a ⇒ lim d(x_n,a) = 0

∀ε>0 n≥N : d(x_n,a) < ε/2 

(das analoge gilt natürlich auch für y_n und sagen wir N`)

=> M = max(N,N`)

d(x_M,a)  ≤ d(x_n,a) + d(a,y_n) < ε (da d(xn,a) und d(a,yn) < ∈

-> lim d(x_M,a) = 0

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Meine Fragen;

1. Stimmt das in etwa?

2. Wie kriege ich nun den Weg von lim d(x_M,a) = 0 zu lim d(xn,yn) = 0 hin?

3. Die Umkehrung ist meiner Meinung ja gültig, da eine Metrik nicht negativ sein kann. Wie beweise ich das aber?

 

Danke für eure Hilfe,

Tulbih

Answer 1

Du hast ja \(d(x_n, a)\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0\) und \(d(y_n, a)\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0\).

Also gilt aufgrund der Dreiecksungleichung und der Symmetrie der Metrik:

\(0\leq d(x_n,y_n)\leq d(x_n,a)+d(a,y_n)=d(x_n,a)+d(y_n,a)\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0+0=0\)

Also ist \(\lim_{n\to\infty}d(x_n, y_n)=0.\)

Comments

Hallo Nick!

Danke vielmals für deine Antwort.

Für die Umkehrung habe ich mir folgendes überlegt:

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Gegenbeispiel;

d(x_n,a) = 1, d(a,y_n)= -1

lim d(x_n,a) + lim d(a,y_n) = 0 ABER

d(x_n,a) ≠ d(a,y_n), lim d(x_n,a) ≠ lim d(a,y_n) und somit auch lim x_n= a₁≠ a₂ = lim y_n

 

Oder mache ich hier einen Denkfehler?

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So ganz verstehe ich dein Beispiel nicht. Wenn \(d(x_n, a)=1\) für alle \(n\in\mathbb{N}\) ist, dann konvergiert die Folge \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) gar nicht.

Du könntest es z:B. so machen:

\(X=\mathbb{N}, d(x,y)=|x-y|\) (Euklidische Norm). \(x_n:=n, y_n:=n.\) Dann gilt: \(\lim_{n\to\infty}d(x_n, y_n)=\lim_{n\to\infty}|x_n-y_n|=\lim_{n\to\infty}|n-n|=\lim_{n\to\infty}0=0.\)

Aber trotzdem gibt es kein \(a\in X=\mathbb{N}\), so dass \(\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n=a\), denn \(x_n\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\infty, y_n\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\infty.\) Also ist die Umkehrung (im Allgemeinen) falsch.

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Hallo Nick

Sehr gutes Beispiel, danke für das!

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Eine kleine Frage ist mir dazu auchnoch aufgekommen.

Warum ist a = ∞ hier nicht zulässi der Grenzwert ist ja eigentlich derselbe...

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Eigentlich gibt es ja da gar keinen Grenzwert. Man sagt, die Folgen divergieren bestimmt. Jedenfalls ist \(\infty\) kein Grenzwert.