Zeige, dass ABCD ein Quadrat ist (Analytische Geometrie)

Question

vor mir liegen habe ich die Aufgabe: Zeige, dass ABCD ein Quadrat ist.

Zunächst einmal müssen die Längen der Vektoren AB AD BC und DC gleich sein.

Das Skalarprodukt von AD und AB, sowie BC und CD muss 0 ergeben

A B C D müssen außerdem auf einer Ebene liegen

AD muss kollinear zu BC sein und AB zu DC.

Ich hatte mir als zusätzliche Bedingung gedacht, dass ich vier Geraden aufstelle, die jeweils A, B, C, D enthalten. Deren Schnittpunkte sind die Eckpunkte des Quadrats. Denn es kann ja sein, dass die Vektoren beliebig im Raum liegen.

Ist es überflüssig, das zu überprüfen? Theoretisch könnte man ja die Vektoren so aneinanderlegen, dass sie ein Quadrat ergeben ...

Über eine Erklärung würde ich mich freuen

Danke

Answer 1

Es genügt, folgendes zu zeigen:

1. \(\vec{AB}= \vec{DC}\)
   
2. \(|\vec{AB}|= |\vec{BC}|\)
   
3. \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0\)
   

Comments

Ist die Bedingung 2. hier nicht überflüssig?

Es langt meiner Meinung nach

1. AB = DC

2. |AB| = |AD|

3. AB · AD = 0

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Ja, stimmt, \(\vec{AD} = \vec{BC}\) folgt aus den anderen Bedingungen.

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Aber warum muss man nicht überprüfen, dass AB, AD, BC und DC auf einer Ebene liegen? Das ist doch Bedingung dafür, dass die Figur eben ist.

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Die drei Punkte A, B und C liegen auf jeden Fall in einer Ebene. Wenn \(\vec{AB}\) = \(\vec{DC}\) ist, dann liegt D auch in dieser Ebene. Es ist dann nämlich $$\vec{OD} = \vec{OC} + \vec{CD} \\= \vec{OC} - \vec{DC} \\= \vec{OC} - \vec{AB} \\= \vec{OC} + (-1)\cdot \vec{AB} + 0\cdot \vec{AC}$$ und \(\vec{x}=\vec{OC} + r\cdot \vec{AB} + s\cdot \vec{AC}\) ist Parameterdarstellung der Ebene durch A, B und C.

Answer 2

Hallo Avenger,

Antwort nach Kommentaren geändert

mit \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)  hast du bereits ein Parallelogramm

mit  zusätzlich \(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|\)  hast du dann bereits eine Raute

mit zusätzlich  \(\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AD}= 0 \)  ergibt sich bereits ein Quadrat

(1. und 3. ergibt ein Rechteck)

Gruß Wolfgang

Comments

Oder hat man dann nur ein Rechteck ?

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Hatte inzwischen die 3. Bedingung nachgetragen. Dauerte wohl wegen "Latexproblemen" etwas länger.

Aber du hast oben recht, die zweite Bedingung ist überflüssig.

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Auch hier gilt das AD = BC überflüssig ist und das man, wenn man es genau nimmt nachtragen könnte das AB und AD keine Nullvektoren sein dürfen.

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Stimmt, habe die Antwort geändert, damit sie nicht sinnlos rumsteht und etwas Neues bringt

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Mit AB = DC hast du bereits ein Parallelogram

Das ist tückisch wenn A, B, C, D auf einer Geraden liegen. Man kann hier noch nicht sagen, dass die Punkte ein Parallelogramm bilden, auch wenn sie es in 99.9% vielleicht tun.

Man muss noch zeigen, Das AB und AD nicht kolinear sind. Also zum Beispiel weil das Skalarprodukt Null wird.

Zusätzlich hatte ich noch angemerkt, dass natürlich kein Richtungsvektor der Nullvektor sein darf.

Answer 3

 Schau mal hier die äquivalenten Eigenschaften des Parallelogramms.

https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogramm

    Ich vermute, das Quadrat ist dann das gleichseitige ( Raute )  rexchtwinklige Parallelogramm.