Stetigkeit / Grenzwert

Question

Aufgabe 1:
Gegeben sei die Funktion, f : R → R

f(x) = ax-2               falls x ≥ -2
f(x) = -14                 falls x < -2

Bestimmen Sie den Wert von a so, dass f  stetig ist.

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie den folgenden Funktionsgrenzwert.
f(x) = sqrt[x^2 + 30x] - x 

Answer 1

Aufgabe 1:

$$ \text{Man hat die kritische Stelle x=-2, an denen beide Funktionsäste} \\\text{denselben Funktionswert annehmen sollen.Dann ist also}\\ -14=a \cdot (-2)-2 \Leftrightarrow -7=-a-1 \Leftrightarrow a=6. $$

Aufgabe 2:

$$ \text{Man hat } f(x)=\sqrt{x^2+30x}-x. \text{Dann ist}\\\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt{x^2+30x}-x\\\stackrel{(*)}{=}\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{x^2+30x}-x)\cdot(\sqrt{x^2+30x}+x)}{(\sqrt{x^2+30x}+x)}\\=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+30x-x^2}{\sqrt{x^2+30x}+x}\\=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{30x}{\sqrt{x^2+30x}+x}\\\stackrel{(**)}{=}\lim\limits_{x\to\infty}\frac{30}{\sqrt{1+\frac{30}{x}}+1}=15. $$

(*) 3. binomische Formel

(**)Überall durch x teilen

Comments

Guten Tag hallo97,

ich danke Dir vielmals für Deine sehr ausführliche Antwort. Wie bist du bei der 2. Aufgabe auf den letzten Schritt gekommen. Du hast alles durch x geteilt, aber wie kommst du auf die Wurzel?

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$$ \frac{30x}{\sqrt{x^2+30x}+x} = \frac{\frac{30x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+30x}+x}{x}} = \frac{\frac{30x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+30x}}{x}+\frac{x}{x}} =  \frac{\frac{30x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+30x}}{\sqrt{x^2}}+\frac{x}{x}} = \frac{30}{\frac{\sqrt{x^2+30x}}{\sqrt{x^2}}+1} = \frac{30}{\sqrt{\frac{{x^2+30x}}{{x^2}}}+1} = \frac{30}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}+\frac{30x}{x^2}}+1} = \frac{30}{\sqrt{1+\frac{30}{x}}+1}$$

Answer 2

1)

a*2-2 = -14

a= - 6

2. Erweitere mit √(x^2+30) +x

Comments

Ich danke vielmals für deine ausführliche Hilfe. Wieso hast du nun für x=2 eingesetzt und nicht wie ganz oben x=-2? Was ist denn jetzt die kritische Stelle?

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Sorry, es sollte natürlich -2 lauten. :)

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Aber dann ist doch a=6, nicht wahr?