Welcher der folgenden Aussagen über Abbildung ist wahr, welche falsch

Question

Seien f: A→B und g: B→C zwei Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

g ◦ f: A→C,     c→(g ◦ f)(x):=g(f(x))

die  Verknüpfung  von f und g.  Welche  der  folgenden  Aussagen  sind  wahr,  welche  sind  falsch?  Geben  Sie
einen Beweis für die wahren Aussagen und ein Gegenbeispiel für die falschen.

a)  Wenn f und g surjektiv sind, dann ist auch g ◦ f surjektiv.

b)  Wenn f injektiv ist und g surjektiv ist, dann ist g ◦ f bijektiv.

Answer 1

Hallo cs, der Ausdruck
c→(g ◦ f)(x):=g(f(x))
soll sicher so heißen:
a→(g ◦ f)(x):=g(f(x))
Die Aussage in Teilaufgabe b sieht so aus, als ob sie falsch wäre.  Also hier ein Bild, siehe unten.  g ° f ist nicht bijektiv, denn zum Bild „2“ gibt’s kein eindeutiges Urbild.

Comments

Warum sollte es a→(g ◦ f)(x):=g(f(x)) heißen?

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Weil der Input für g°f gleich der Input für f gleich ein Element aus der Menge A ist.

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Noch besser wäre x→(g ◦ f)(x):=g(f(x)).

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Noch besser ist x↦(g ◦ f)(x):=g(f(x)).

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Da haben wir gleichzeitig den selben Kommentar abgegeben  :-)  

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Die Aussage in Teilaufgabe a ist wahr.  Beweis:
f surjektiv:  Zu jedem b ∈ B gibt es ein a ∈ A, so dass b = f(a) ist.
g surjektiv:  Zu jedem c ∈ C gibt es ein b ∈ B, so dass c = g(b) ist.
=>  Zu jedem c ∈ C gibt es ein a ∈ A, so dass c = g(f(a)) ist.
=>  g ° f ist surjektiv.

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Hallo

vielen Dank für die Rückmeldungen.

@RomanGa: du hast recht, es sollte x sein.

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Bitte sehr   :-)