Funktion mit 2 Variablen erstellen, die mind. 2 Extremstellen hat mit Nebenbedingung

Question

 $$ E=\left\{ (x,y)\in ℝ^2 |x^3-y^3=2 \right\} $$

Bilden Sie eine partiell differenzierbare Funktion f:ℝ^2→ℝ, die auf E mehr als eine Extremstelle hat, und nicht die Form

$$f(x,y) = ax^3+bx^3+b$$ hat, wobei a,b ∈ℝ.

Meine Idee:

Weiß nicht wie man das strategisch macht. ich benutze Lagrange Multiplikator Methode.

Also ich sage z.B: Ich will ein Minimum bei x=2 , y=0. Und ein Maximum bei x=0, y=-2

L(2,0,0) ≤ L(x,y,λ)

L(0,-2,0) ≥ L(x,y,λ)

Dann brauch ich ja 2 Gleichungen erstmal die das erfüllen

L_x = .... = 0

L_y = .... = 0

, aber hier hänge ich, ich könnte nun stundenlang herumprobieren bis ich durch Glück zwei finde. Aber das geht sicher auch anders?:

Wenn ich welche hätte, müsste ich eifnach nurnoch die Stammfunktion bilden fertig.

Answer 1

Suche dir einfach zwei Stellen auf E aus (z.B. (1;-1) und $$(2^{\frac{1}{3}};0)$$ und bastle die eine Funktion (z.B. eine geeignete Sinusfuktion), die an den beiden Stellen Extrempunkte hat.