Beweis dass n und 0 Eigenwerte sind

Question

Für A= (a_ij)1≤i,j≤n∈Mat(n×n,Q) mit n≥2und a_ij= 1 für alle 1≤i,j≤n gilt: Die Werte n und 0 sind Eigenwerte von A.

Ich weiß schon, dass diese Aussage wahr ist, weil ich es schon für n=3 und n=4 probiert habe.

Für n=3 ist beispielsweise das charakt. Polynom x³+3x² und damit erhält man die NST x_1,2=0 und x₃=3.

Doch wie beweist man das für eine nxn Matrix?

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, erhält man hier das Polynom (1-x)ⁿ+x(n-1)=0. Doch jetzt komme ich nicht mehr weiter.

Comments

Du hast Dich verrechnet. Es ist auch nicht noetig, das charakteristische Polynom ueber die Determinante auszurechnen. Bestimme stattdessen die geometrische Vielfachheit der beiden Eigenwerte 0 und n.

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probiere auch an der Aufgabe rum. Wie zeigt man das denn durch die Vielfachheit?

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Wenn der Betreff woertlich zu nehmen ist, geht es sogar noch einfacher. Gib je ein \(v\ne0\) mit \(Av=0\) bzw. \(Av=nv\) an. Fertig.

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Also ich glaub ein bisschen ausführlicher muss es schon sein. Es gilt die Behauptung, dass die Wert 0 und n Eigenwerte sind und das soll bewiesen werden

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0 ist ein Eigenwert von A, wenn es einen Eigenvektor dazu gibt. Gib einen an und das Thema ist erledigt. Fuer n entsprechend. Wenn das nicht klar ist, kann ich Dir auch nicht weiterhelfen.

Answer 1

Schau mal hier

http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=140504&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F

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