Lineare Unabhängigkeit mittels Norm

Question

Liebe Leute, das ist die  folgenden Aufgabenstellung:
Sei V ein Vektorraum über R³  mit Skalarprodukt < , > und seien u,v,w ∈ V Vektoren, sodass ||u|| = ||V|| = ||w|| = ||u-v|| = ||u-w|| = ||v-w|| = 1.
Zeige dass u,v und w linear unabhängig sind.

Ich bin leicht irritiert denn bis jetzt wenn wir lineare Unabhängigkeit zeigen wollten haben wir immer dies verwendet:

$$ Eine \quad endliche \quad Familie \quad  {\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}} \quad  von \quad Vektoren \quad aus \quad {\displaystyle V} \quad  heißt\quad linearunabhängig, \quad wenn \quad die \quad einzige\quad moegliche\quad Darstellung\quad des\quad Nullvektors\quad als\quad Linearkombination\quad{\displaystyle a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}}$$

Wie mache ich das jetzt mit der Verwundung der Norm?
Ich weiß

||x||=<x,x> soll ich das hier irgendwie verwenden?

Bin über jede Anregung dankbar.

schönen Abend noch :)

Answer 1

Vielleicht durch Widerspruch:  Wenn sie lin. abhängig wären, müsste

einer (o.B.d.A w ) sich als Linearkombination der anderen beiden, etwa in der Form

w = au+bv  schreiben lassen.       #

Betrachte zunächst ||u-v||=1 ==>   < u-v, u-v > = 1

(Deiner Überlegung fehlte zwar die Wurzel ||x||=√<x,x>,

aber das Skalarprodukt ist ja pos. definit.)

Dann hast du 1 =  < u-v, u-v >

                         = <u,u> + 2<u,v> + <v,v>

                        =  1 + 2<u,v> + 1

      ==>             - 0,5 = <u,v> .     ##

Wegen # und den Voraussetzungen gilt

1 = || w ||

==>  1 = < au+bv ,au+bv > = a^2 <u,u> + 2ab<u,v> + b^2 <v,v>

gibt mit ||u||=||v||=1 und ## dann     ab=1 .   ###

Nun noch ||w-v||=1 einbringen.

Mit # gibt das < au + (b-1)v , au + (b-1)v > = 1

gibt analog zur Bestimmung von ## dann a*(b-1)=1 ,

zusammen mit ### also a=0.

Entsprechend folgt aus ||w-u||=1 dann  b=0.

Also liefert #    w= 0-Vektor im Widerspruch zu ||w||=1.

Comments

Danke dir vielmals für diese Ausführliche Erklärung :)