Orthogonalprojektion und Unterräume

Question

Sei V ein Vektorraum mit den Skalarprodukt < , > Gegeben seien Unterräume U und W und π_u,π_w die jeweiligen Orthogonalprojektionen.

Zeige U⊂W ⇔ π_u=π_w o π_u

So hier sind meine Gedanken:

Ich weiß die Orthogonale Projektion ist idempotent π_u o π_u=π_u Bedeutet das jetzt für mich das ich zeigen soll dass π_w = π_u ist?  Und wie verwende ich hier  U⊂W?

lg

Answer 1

Versuche es besser über die Definition und Aufteilung

von  U⊂W ⇔ π_u=π_w o π_u  in zwei Teile .

Also zuerst:

Sei U⊂W .  Zu zeigen:  Für alle v∈V gilt π_u (v) =π_w o π_u (v).

Sei also  v∈V .  ==>  (nach Def.)

 π_u (v) ∈ U  und  <  π_u (v) - v , u > für alle u∈ U .

zum Nachweis der Gleichheit musst du also zeighen, dass daraus

folgt:

 (π_w o π_u )(v) ∈ U  und  <  (π_w o π_u ) (v) - v , u > für alle u∈ U .

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Und dann die andere Richtung.