Anzahl der Lösungen von x + y + z + t = 15 in den natürlichen Zahlen.

Question

hallo ich brauche Hilfe bei der Aufgabe

21.)Bestimmen Sie die Anzahl aller Lösungen der Gleichung x+y+z+t=15 mit x,y,z,t in den natürlichen Zahlen.

Meine Idee:

Ich stelle mir eine Zahlenreihe vor mit 111111111111111 damit ich 15 Zahlen habe.

Jetzt schreibe ich zwischen jede Zahl ein L= Lücke.

L1L1L1L1L1.....

Wenn ich nun alle L in eine Urne werfe und dann nur 3 raushole erhalte ich 3 Positionen wo eine Lücke ist und somit 4 Teile für die Gleichung. Dann hätte ich eine Lösungsmöglichkeit. Jetzt weiß ich aber nicht wie ich am besten das verallgeminern kann, damit ich alle Möglichkeiten erhalte.

Answer 1

Die wichtigste Frage dabei ist: Zählst du die Null mit zu den natürlichen Zahlen oder nicht?

Wenn die Null mit dazu zählt:

COMB(15 + 4 - 1, 15) = 816

Wenn die Null nicht mit dazu zählt:

COMB(11 + 4 - 1, 11) = 364

Comments

ja die null zählt dazu.

---

Hab ein Update gemacht.

---

Was soll das für eine Formel sein @Mathecoach?

(n+k-1 über k) ist das ja irgendwie nicht. Das ist ja irgendwie (n+k-1 über n)

Verstehe ich irgendwie nicht

---

Doch das ist (n + k - 1 über k). Man sollte es besser (k + n - 1 über k) notieren.

n ist die Anzahl der Optionen und k ist die Anzahl der Ziehungen.

n ist hier 4 weil ich für jede Münze den Platz ziehe an den ich die Münze ablege. k ist die Zahl der Ziehungen. Also 15, weil ich für jede Münze einen Platz brauche.

---

Habe mal bisschen nachgeforscht bei Multimengen. Es geht sogar:$$\begin{pmatrix} 4+15-1 \\ 4-1\end{pmatrix}=816$$

---

Es gilt immer

(n über k) = (n über n - k)

oder hier

(k + n - 1 über k) = (k + n - 1 über k + n - 1 - k) = (k + n - 1 über n - 1)

Das ist also keine Hexerei sondern allgemeines Gesetz.

Answer 2

Ich bin mir nicht ganz sicher, aber eigentlich sollte das so sein:

Für 0+15=15 gibt es 2*1*16=32 Möglichkeiten

Für 1+14=15 gibt es 2*2*15=60 Möglichkeiten

Für 2+13=15 gibt es 2*3*14=84 Möglichkeiten

etc.

Aber das muss man irgendwie in ein Summenzeichen bringen? Ich dachte hieran:$$\sum_{x=0}^{15}{(x+1)\cdot (16-x)}=816$$