Ganzrationale Funktion 3. Grades

Question

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in W(-1/-2) einen Wendepunkt und in H(-2/0) ein Maximum.

Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion.

Bitte um Hilfe mit Lösungsweg.

Vielen Dank

Answer 1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

hat in W(-1/-2) einen Wendepunkt

(1)        f(-1) = -2

(2)        f''(-1) = 0

und in H(-2/0) ein Maximum

(3)        f(-2) = 0

(4)        f'(-2) = 0

Stelle aus den Bedingungen (1) bis (4) Gleichungen auf und löse das so entstandene Gleichungssystem.

Answer 2

Allgemein hat eine ganzrationale Funktion dritten Grades diese Form:

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$

$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$

$$f"(x)=6ax+2b$$

Du brauchst hier also vier bekannte Punkte, weil dieses Polynom vier Koeffizienten hat, die du berechnen musst. Aus der Aufgabe ist bekannt:

1.) Punkt W(-1/-2) :f(-1)=-2

2.) Punkt W(-1/-2) ist ein Wendepunkt :f"(-1)=0

3.) Punkt H(-2/0) :f(-2)=0

4.) Punkt H ist außerdem ein Extrempunkt(wegen Maximum) :f'(-2)=0

Daraus stellst du nun ein Gleichungssystem zusammen, dass du nach a,b,c und d auflöst. Das machst du am besten nach dem Verfahren, was dir am besten liegt, bzw. Gaußalogrithmus ist bei solchen Gleichungssystem am besten.

$$1.) -1a+1b-1c+d=-2$$

$$2.) -6a+2b=0$$

$$3.) -8a+4b-2c+d=0$$

$$4.) 12a-4b+c=0$$

Comments

Sehr deutlich und gute Erklärung.

Vielen Dank!

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Das freut mich! :-)