Es tut mir Leid. Ich kenne die Wahrheit; denn im Laufe des Studiums habe ich mich privat dieser Problematik angenommen. Ich mache hier kein " Pippifax " , wie das unser Assistent immer so schön umschrieb.
Die Rede soll sein von Gruppenteorie. Es gibt da ein russisches Standardwerk über Gruppen aus dem Jahre 1940; sehr anspruchsvoll und trotzdem eine reine Prosaerzählung. Frag mal nach bei deinem Prof; der Name des Verfassers ist mir leider entfallen. Ich erwähne es deshalb, weil noch 1940 selbst den führenden Autoritäten nachweislich jedes Feeling abging, dass du auf einer nicht kommutativen Struktur wie einer Gruppe nicht selbstverständlich voraus setzen darfst, dass das Neutrale mit allen Gruppenelementen vertauscht bzw. jedes Element mit seinem Inversen vertauscht.
Zu besonderem Dank bin ich hier meinem eigenen Assistenten Gottschalk verpflichtet, der mir die Mitteilung zukommen ließ, dass wenn du LINKSneutral forderst so wie RECHTSinverse, das i.A. keine Gruppe gibt. D.h. es kann dir passieren, dass es mehrere Rechtsneutrale ( oder auch gar keine ) gibt - analog für Linksinverse.
Erst nach dem 2. Weltkrieg schlägt so Autoren wie Kowalsky oder Greub das Gewissen, dass es da etwas zu beweisen gibt.
Und wie immer in der Matematik, wenn du eine Teorie von Unten hoch ziehst: Mühsam ernährt sich das Eichhörnchen.
DEFINITION 1 ( Lokal linksneutrales ; LLN )
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Ein Element e heiße LLN , wenn
(E) a = a ( e ) | e a = a ( 1a )
( Analog LRN )
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DEFINITION 2 ( global ) Linksneutral
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Ein LLN heiße global linksneutral , wenn für alle
(V) x | e x = x ( 1b )
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DEFINITION 3 ( Linksinverses )
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Sei e linksneutral; ein a ' = a ' ( a ; e ) heiße linksinvers zu a RELATIV zu e , wenn
a ' a = e ( 2 )
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DEFINITION 4 ( Linkseins )
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Ein Linksneutrales e heiße Linkseins , wenn es zu jedem a € G ein Linksinverses a ' = a ' ( a ; e ) gibt .
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Vor mir hat das nämlich noch keiner gesehen; Inverse zu haben, ist keine Eigenschaft der Gruppe als Menge, sondern von diesem neutralen Element e . Demnach führe ich das Gruppenaxiom ein: Abgeschlossen, assoziativ + Linkseins .
Damit wird die Gruppe recht eigentlich zu einer Baumstruktur; an jedem Linkseins-Zweig hängen die Äste der Linksinversen. Mehr wird ( explizit ) gar nicht ausgesagt.
Wir hatten oben gesagt: Es gibt eine Linkseins e ; auf dieses e beziehen sich die Gruppenaxiome; und dieses e kommt gleich unten vor in Satz 1 .
SATZ 1
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Sei h ein LRN ====> h = e
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Anmerkung; daraus würde doch die Eindeutigkeit der Linkseins folgen. Doch wollen wir von dieser Erkenntnis keinen Gebrauch machen; ich verfolge eine etwas andere Strategie.
Anmerkung; wenn das Wörtchen Wenn nicht wär. Satz 1 ist keine Existenzaussage; WENN es ein LRN gibt ( Vielleicht gibt es ja keins. )
Beweis. Wir gehen also davon aus, dass es g und h gibt mit
g h = g | g ' ° ( 3a )
Anmerkung; " Kringel Rechts " bedeutet immer Multiplikation von Links.
g ' ( g h ) = g ' g = e ( 3b )
( g ' g ) h = e ( 3c ) ( Assoz. Ges. )
e h = h = e ( 3d ) ; wzbw
Und jetzt schlagen wir zu.
SATZ 2
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a ' = a ' ( a ; e ) ist rechtsinvers.
a a ' = e ( 4a )
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Der Beeweis gründet direkt auf Satz 1 . Sei
h := a a ' ( 4b )
Dann behaupte ich: h ist LRN ( relativ zu a ' ) Wenn ich das zeigen kann, folgt schon mit Satz 1 die Behauptung.
a ' h = a ' ( a a ' ) = ( a ' a ) a ' = e a ' = a ' ( 4c ) ; wzbw
Jetzt fehlt nur noch der Schlussstein, den wir seit Satz 1 erwarten.
SATZ 3
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e ist rechtsneutral .
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Beweis.
a e = a ( a ' a ) = ( a a ' ) a = e a ( 5a ) ( Satz 2 )
= a ( 5b )
Mehr wollen wir hier nicht machen; die Hauptsache wird sein, Existenz und Eindeutigkeit der Lösung von x a = b bzw. a y = b zu zeigen. Das Werkzeug hierzu ist nunmehr bereit gestellt.
