Zeigen Sie, dass für alle h ∈ R die Mengen

Question

Hallo Leute,

ich könnte bei der folgenden Aufgabe echt eure Hilfe gebrauchen.

Sei (X, d) ein metrischer Raum und f : X → R eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass für alle h ∈ R die Mengen
H_f (h) = {x ∈ X : f(x) = h} abgeschlossen sind

Könntet ihr mir hier bitte helfen?

Answer 1

Sei h∈R.  Du musst ja zeigen, dass R \ H_f(h) offen ist.

Sei also y ∈ R \ Hf(h)   also gibt es kein  x ∈ X  mit  f(x) = h.

Um zu zeigen, dass R \ Hf(h) offen ist, muss es also ein

ε>0 geben und eine Umgebung Uε(y) , die ganz in R \ Hf(h) liegt.

Sei U eine solche Umgebung. Und angenommen es gäbe ein

x ∈ X mit f(x) = h, dann gäbe es wegen der Stetigkeit

(s. etwa https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Funktion#Umgebungen )

eine Umgebung von x, deren Bild ganz in U liegt. Damit liegt

auch f(x) in U im Widerspruch zu f(x)=h; denn U liegt

ja in R \ Hf(h), enthält also kein Element für das es ein

x ∈ X mit f(x) = h gibt.