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Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch, wie ich das alles zeigen kann. Ich glaube das wir ähnlich wie in der Vorlesung z.B. 0v = 0 aus den Vektorraum-Axiomen gezeigt haben, das hier auch mit den oben gegeben Eigenschaften machen müssen. Aber finde irgendwie keinen richtigen Anfang, wie ich das angehen könnte. Vielen Dank schon einmal für eure Antworten.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppe_(Mathematik)#Schwache_Gruppenaxiome

EDIT(Lu): Umgewandelt in Antwort und drei Meldungen der Frage entfernt. Der Fragetext ist auch nach 2 Tagen noch nicht abgetippt worden. https://www.mathelounge.de/schreibregeln

von
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Es tut mir  Leid.  Ich kenne die Wahrheit;  denn im Laufe des Studiums habe ich mich privat dieser Problematik angenommen. Ich mache hier kein  "  Pippifax  "  , wie das unser Assistent immer so schön umschrieb.
    Die Rede soll sein von Gruppenteorie.  Es gibt da ein russisches Standardwerk über Gruppen aus dem Jahre 1940;  sehr  anspruchsvoll  und trotzdem eine reine Prosaerzählung.  Frag mal nach bei deinem Prof; der Name des Verfassers  ist mir leider entfallen. Ich erwähne es deshalb, weil  noch 1940 selbst den führenden Autoritäten nachweislich jedes  Feeling abging,  dass du auf einer nicht kommutativen  Struktur wie einer Gruppe  nicht  selbstverständlich voraus setzen darfst,  dass das Neutrale mit allen Gruppenelementen vertauscht bzw.  jedes Element mit seinem Inversen vertauscht.
  Zu besonderem Dank bin ich hier meinem eigenen Assistenten  Gottschalk verpflichtet,  der mir die Mitteilung zukommen ließ,  dass wenn du  LINKSneutral forderst so wie  RECHTSinverse,  das  i.A.  keine Gruppe gibt.  D.h.  es kann dir passieren,  dass es  mehrere Rechtsneutrale ( oder auch gar keine  )  gibt -  analog für  Linksinverse.
  Erst nach dem 2. Weltkrieg schlägt  so Autoren wie Kowalsky oder Greub  das Gewissen, dass es  da etwas zu beweisen gibt.
  Und wie immer in der Matematik, wenn du eine Teorie von Unten hoch ziehst:  Mühsam ernährt sich das Eichhörnchen.

  DEFINITION  1    ( Lokal linksneutrales  ;  LLN  )
    =======================================

    Ein Element  e  heiße  LLN , wenn

    (E)  a  =  a  (  e  )  |  e  a  =  a        (  1a  )

  ( Analog  LRN ) 

  =====================================1

      DEFINITION  2  (  global  )  Linksneutral
  =====================================
    Ein  LLN  heiße  global linksneutral ,  wenn für alle

    (V)  x  |  e  x  =  x        (  1b  )

    ======================================

      DEFINITION  3  (  Linksinverses  )
    ==================================
      Sei e linksneutral;  ein  a  '  =  a  '  (  a  ;  e  )  heiße linksinvers zu a  RELATIV  zu e , wenn

      a  '  a  =  e      (  2  )

  ==================================

      DEFINITION  4  (  Linkseins  )
    =============================
  Ein Linksneutrales  e  heiße  Linkseins , wenn es zu jedem a €  G ein Linksinverses  a ' = a ' ( a ; e ) gibt . 
  ========================================

    Vor mir hat das nämlich noch  keiner gesehen; Inverse zu haben, ist keine Eigenschaft der Gruppe als Menge, sondern von diesem neutralen Element e . Demnach führe ich das Gruppenaxiom ein:  Abgeschlossen, assoziativ  +  Linkseins .
    Damit wird die Gruppe recht eigentlich  zu einer Baumstruktur;  an jedem Linkseins-Zweig hängen die Äste der Linksinversen.  Mehr wird  (  explizit  ) gar nicht ausgesagt.
  Wir hatten oben gesagt:  Es gibt eine Linkseins  e  ;  auf dieses e beziehen sich die Gruppenaxiome; und dieses e kommt gleich unten vor in Satz 1 .

      SATZ  1
  ============
  Sei  h  ein  LRN  ====>  h  =  e
  ==================================

      Anmerkung;  daraus würde doch die  Eindeutigkeit der Linkseins folgen.  Doch  wollen wir von dieser Erkenntnis keinen Gebrauch machen; ich verfolge eine etwas andere Strategie.
  Anmerkung; wenn das Wörtchen Wenn nicht wär.  Satz 1  ist keine Existenzaussage;  WENN es ein LRN gibt (  Vielleicht gibt es ja keins. )
  Beweis.  Wir gehen also davon aus, dass es g und h gibt mit

        g  h  =  g    |    g  '  °        (  3a  )

      Anmerkung;  "  Kringel Rechts "  bedeutet immer Multiplikation von  Links.

        g  '  (  g  h  )  =  g  '  g  =  e      (  3b  )
          (  g  '  g  )  h  =  e          (  3c  )      (  Assoz. Ges. )
        e  h  =  h  =  e      (  3d  )    ;  wzbw

    Und jetzt schlagen wir zu.

      SATZ  2
    ==============
    a  '  =  a  '  (  a  ;  e  )  ist rechtsinvers.

          a  a  '  =  e        (  4a  )

      ================================

      Der  Beeweis gründet direkt auf  Satz  1  .  Sei

              h  :=  a  a  '      (  4b  )

    Dann behaupte ich:  h  ist  LRN  (  relativ zu  a  '  )  Wenn ich das zeigen kann, folgt schon mit Satz  1  die Behauptung.

  a ' h = a ' ( a a ' ) = ( a ' a ) a ' = e a ' = a '    (  4c  )    ;  wzbw

    

     Jetzt fehlt nur noch der Schlussstein, den wir seit  Satz  1 erwarten.


     SATZ  3

  ============

    e  ist rechtsneutral .

   =========================


     Beweis.


    a  e  =  a  (  a  '  a  )  =  (  a  a  '  )  a  =  e  a    (  5a  )  ( Satz 2 )

     =  a    (  5b  )


     Mehr wollen wir hier nicht machen;  die Hauptsache wird sein, Existenz und Eindeutigkeit der Lösung von x a = b bzw.   a y = b zu zeigen.  Das Werkzeug hierzu ist nunmehr bereit gestellt.

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