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Hey,

Kann jemand diese Frage beanworten:

Welches Integral ist auszuwerten, wenn man die Länge des Bogens
der Sinus-Funkion von 0 bis π ermitteln will?

Zu dem weiss ich nicht wie ich das hier √(1+cos^2(x)) hochleiten kann? Weil wenn ich bei cos^2(x) die partielle Integration anwende, kommt ja immer das gleiche raus.

Ich danke euch voraus

Gefragt von

Hallo,

hallo97 hat mir Angst gemacht diese Antwort zu posten, weshalb ich sie hier hin poste.

Die allgemeine Formel zur Berechnung einer Bogenlänge ist:$$L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$ Wir betrachten nun die Funktion \(sin(x)\) im Intervall \([0,\pi]\). Dazu bilden wir jetzt erst einmal die Ableitung vom Sinus. Kennst du den Song von Dorfuchs. "Und die Ableitung vom Sinus ist der Kosinus"... also haben wir für \(f'(x)=cos(x)\).
Der Intervall bildet die Integralgrenzen und sonst müssen wir eig. nur einsetzen:$$L=\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+(cos(x))^2}dx$$ Das ist gleich:$$L=\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+cos(x)^2}dx$$ Nun müssen wir die Stammfunktion bilden, welche wie folgt lautet:$$F(X)=\frac{sin(2x)+6x}{4}+C$$$$\left[\frac{sin(2x)+6x}{4}\right]^1_0$$$$L=\frac{sin(2\cdot 1)+6\cdot 1}{4}-\frac{sin(2\cdot 0)+6\cdot 0}{4}\approx 1.5087$$
Das war so meine Idee bisher, hmm, vielleicht lieg ich auch komplett falsch.

Es müss natürlich von $$\left[\frac{sin(2x)+6x}{4}\right]^\pi_0$$ gehen. Scheint trotzdem nicht zu klappen. Was hab ich bloß falsch gemacht. Gib mir mal nen Mom.

Deine Stammfunktion ist fehlerhaft.

Hmm, irgendwas ist faul.

"Antiderivative or integral could not be found. Note that many functions don't have an elementary antiderivative."

Und Wolfram spuckt irgendnen Quatsch aus:

√2 * E(X|1/2)+C

E(x|m) is the elliptic integral of the second kind with the parameter m=k^2

Ist das etwa ein Fall für die Monte-Carlo-Integration?

Das ist ein Fall für numerische Integration. Welche numerische Methode kannst du dir dazu heraussuchen, hallo97 hat unten ja bereits ein Beispiel hierfür vorgemacht.

An den Fragesteller,

Bilde ein sog. Interpolationspolynom \(p_n(x)\), um die Funktion \(f(x)\) zu approximieren und die dann anstelle vom anderen zu integrieren.$$\int_{a}^{b}f(x)dx≈ \int_{a}^{b}p_n(x)dx$$. Das versuch ich morgen nochmal. Falls du es heute nochmal probiereen willst:


Ich kann aber das Ergebnis von hallo97 bestätigen:

c395e281dc675e16a0e6efc965dcf4d1.png

Wieso wusste ich davon nicht früher, das ist mega interessant!

2 Antworten

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Beste Antwort

So eine Funktion lässt sich nicht analytisch integrieren, sondern nur numerisch lösen.

Du könntest zum Beispiel eine Taylorapproximation durchführen. Oder du wendest eine der bekannten numerischen Integrationsmethoden an, zum Beispiel Trapez.

Oder man berechnet es mit einem Computer direkt, auch nur numerisch, nach dieser Abbildung:

blob.png

$$ A_k=\frac{1}{n}\cdot f(x),\text{ mit  } x:=\frac{k}{n} $$

Dann hat man:

$$ \sum_{k=0}^{a\cdot n-1}{A_k}=\sum_{k=0}^{a\cdot n-1}{\frac{1}{n}\cdot f\Bigg(\frac{k}{n}\Bigg)}=\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=0}^{a\cdot n-1}{ f\Bigg(\frac{k}{n}\Bigg)} $$

$$ f(x)=sin(x) \quad :\int_{0}^{\pi}{\sqrt{1+cos^2(x)}dx}\\\stackrel{n=10000}{\approx}\frac{1}{10000}\cdot\sum_{k=0}^{3,141\cdot10000-1}{\sqrt{1+cos^2\Big(\frac{k}{10000}\Big)}}\approx 3,819 $$

Bei pi muss man hier allerdings ,,schummeln'', was aber für große n widerum keine bedeutende Rolle mehr spielen würde.

Python-Code:

from math import*

n = int(input(' n = '))    #Einteilungsschritte
a = float(input(' a = '))  #Obergrenze

summe = 0
k=0                              #Laufvariable k
while k<=a*n-1:          #Es wird solange aufaddiert, bis diese Bedingung nichtmehr gilt
    summe = summe+sqrt(1+cos(k/n)**2)
    k = k+1

print(summe/n)

Beantwortet von 3,7 k

Alternativ kann man sich auch eine ganzrationale Funktion 4. Grades zusammenbasteln, die f annähern soll:

$$ p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\\ p'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d $$

Diese soll folgende Eigenschaften mitbringen:

$$ 1.) \ \ p(0)=\sqrt(2)=f(0) \Rightarrow e=\sqrt{2}\\ 2.) \ \ p(\pi/2)=1=f(\pi/2) \\ 3.) \ \ p(\pi)=\sqrt{2}=f(\pi) \\ 4.) \ \ p'(0)=0=f'(0) \Rightarrow d=0 \\ 5.) \ \ p'(\pi)=0=f'(0)$$

Somit muss man nur noch folgendes Gleichungssystem lösen:

$$ 2.) \ \ \Big(\frac{\pi}{2}\Big)^4\cdot a+\Big(\frac{\pi}{2}\Big)^3\cdot b+\Big(\frac{\pi}{2}\Big)^2\cdot c=1-\sqrt{2}\\ 3.) \ \ \pi^4\cdot a+\pi^3 \cdot b+\pi^2 \cdot c=0 \\ 5.) \ \ 4\pi^3\cdot a+3\pi^2\cdot b+2\pi\cdot c=0 $$

Gelöst ergibt das :

$$ a=-\frac{16(\sqrt{2}-1)}{\pi^4} \\ b=\frac{32(\sqrt{2}-1)}{\pi^3} \\ c=-\frac{16(\sqrt{2}-1)}{\pi^2} \\ d=0 \\ e=\sqrt{2} $$

Also folgendes Näherungspolynom:

$$ p(x)=-\frac{16(\sqrt{2}-1)}{\pi^4}x^4+\frac{32(\sqrt{2}-1)}{\pi^3} x^3-\frac{16(\sqrt{2}-1)}{\pi^2}x^2 +\sqrt{2}. $$

Längenberechnung:

$$ \int_{0}^{\pi}{\sqrt{1+cos^2(x)}dx}\\ \approx \int_{0}^{\pi}{\Bigg(-\frac{16(\sqrt{2}-1)}{\pi^4}x^4+\frac{32(\sqrt{2}-1)}{\pi^3} x^3-\frac{16(\sqrt{2}-1)}{\pi^2}x^2 +\sqrt{2}\Bigg)dx}\\=\Bigg[-\frac{16(\sqrt{2}-1)}{5\pi^4}x^5+\frac{32(\sqrt{2}-1)}{4\pi^3} x^4-\frac{16(\sqrt{2}-1)}{3\pi^2}x^3 +\sqrt{2}x \Bigg]_{0}^{\pi}\approx 3.75 $$

ok danke dir für die sehr gute Antwort! :)

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Hallo,

wenn die Frage lautet:

Welches Integral ist auszuwerten, wenn man die Länge des Bogens
der Sinus-Funkion von 0 bis π ermitteln will?

, dann lautet die Antwort

$$L=\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+(cos(x))^2}dx$$

Die Funktion $$f(x)=\sqrt{1+cos^2(x)}$$ ist geschlossen nicht integrierbar, daher musst du dich von dem Gedanken verabschieden, eine Stammfunktion zu finden.

Beantwortet von 26 k

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