Ein Wanderer wandert am ersten Tag mit unterschiedlicher Geschwindigkeit von Dorf1 zu Dorf2. Er startet morgens ...

Question

folgende Frage:

Ein Wanderer wandert am ersten Tag mit unterschiedlicher Geschwindigkeit von Dorf1 zu Dorf2. Er startet morgens um 10 Uhr und kommt abends um 18 Uhr an. Am nächsten Tag läuft er die gleiche Strecke zurück, startet jedoch morgens um 10 Uhr von Dorf2 und kommt abends um 18 Uhr in Dorf1 an.

Kann er sich am zweiten Tag an einer Stelle befinden, an der er sich am Tag zuvor zur gleichen Uhrzeit befand? Bitte beweisen Sie!

Comments

Interessante Frage .-)

Zufälle geschehen immer wieder, aber da er sich laut Fragestellung mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten fortbewegt, idürfte die Wahrscheinlichkeit, dass er zur selben Zeit am selben Ort ist, aus meiner Sicht sehr gering sein. Oder es hat ein tieferen akkumulativen Gang, den ich auf die Schnelle nicht spanne .-)

Answer 1

Wenn er den gleichen Weg nimmt, muss er sogar an irgendeiner Stelle gleichzeitig, wie am Vortag vorbeikommen.

Begründung: Weg-Zeit-Diagramm. 

Die violetten Kurven zeigen die Bewegung des Wanderers an Tag 1 von Dorf 1 zu Dorf2 und an Tag2 von Dorf2 nach Dorf1. Die beiden Linien müssen sich irgendwo kreuzen und an den Koordinaten dieser Stelle lässt sich ablesen, wann und wo er an beiden Tagen gleichzeitig vorbei kam.

Answer 2

Ich liefere eine verbale Überlegung, der formale Beweis sei dem geneigten Leser überlassen ... :-)


Sei O1 ( t ) eine Funktion, die die Entfernung des Wanderers von Dorf 1 zum Zeitpunkt t des ersten Tages angibt und O2 eine Funktion, die seine Entfernung von Dorf 1 zum Zeitpunkt t am zweiten Tage angibt.

Dann gilt:

O1 und O2 sind stetig (der Wanderer kann nicht von einer Stelle A auf eine ganz woanders liegende Stelle B "beamen", muss also jeden Punkt der Strecke mindestens einmal betreten).

Für stetige Funktionen aber gilt nach dem Zwischenwertsatz, dass sie jeden Wert ihres Wertebereiches auch tatsächlich mindestens einmal annehmen.
Da aber O1 im Mittel steigend und O2 im Mittel fallend ist, muss es eine Stelle t geben, an dem der Graph von O1 den Graphen von O2 schneidet, an dem also gilt:

O1 ( t ) = O2 ( t )

Zu diesem Zeitpunkt t sind die Wanderer am ersten und am zweiten Tage also gleich weit von Dorf 1 entfernt, nämlich O1 ( t ) = O2 ( t ) km