Bedingte Wahrscheinlichkeit oder nicht ? Is die Aufgabe eindeutig lösbar ?

Question

20% aller Pkw eines bestimmten Herstellers sind Dieselfahrzeuge. Die Anzahl der Dieselfahrzeuge in einer Stichprobe soll modellhaft als binomialverteilt angenommen werden. 25 Pkw des Herstellers werden zufällig ausgewählt; davon sind drei rot.

Aufgabe:

Von den ausgewählten Pkw sind genau fünf Dieselfahrzeuge. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die drei roten Pkw Dieselfahrzeuge sind

Answer 1

Das sollte eig. einfach so sein... :

(5/25)*(4/24)*(3/23)

Comments

Warum ist das so ? Muss man nicht zunächstt klären, ob die Merkmale "rot" und "Diesel" stochastisch unabhängig sind ? ist das gar keine bedingte Wahrscheinlichkeit ?

Die Lösung mag richtig sein, sagt mir jedoch gar nichts - der Rechenweg ist unklar.

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Nein, bei dieser Aufgabe nicht, das ist einfach die Produktregel der Stochastik.

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Guck dir vielleicht auch mal die hypergeometrische Verteilung an:

P(X=3)=((3 über 3)*(22 über 2))/(22 über 5)

P(X=3)=0.004347

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In der Abiturlösung kommt 1/12 als richtige Lösung heraus...

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Dann lass mich nochmal überlegen.

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Hypergeometrische Verteilung ist doch Ziehen ohne Zurücklegen - Wieso wird hier ohne Zurücklegen gezogen ?

Ich dachte man müsste hier eine Vierfeldertafel anlegen mit D oder nicht D und rot oder nicht rot....

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Lass mich erstmal was essen. Ich muss nachdenken....

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Das sollte eig. einfach so sein... :

(5/25)*(4/24)*(3/23)

Wird wohl tatsächlich so sein, denn

ist die Musterlösung vom IQB, Aufgabe 1.b)
Quelle: https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2017/abitur/pools2017/mathematik/grundlegend/2017_M_grundlege_18.pdf

Das habe ich im übrigen auch, unnötig kompliziert, über die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit heraus bekommen.

Von wem stammen denn die 1/12?

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Die Aufgabe ist aus Hessen übernommen worden. Dort steht aber als Zusatz, dass rot und Diesel stochastisch unabhängig sind.

Die Dame in diesem Video kommt auch auf 12%

Wie rechnet man das über bedingte Wahrscheinlichkeit aus, also wie kommt man damit auf die angegebenen Brüche ?

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Tja, wer hat nun recht?

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"Das habe ich im übrigen auch, unnötig kompliziert, über die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit heraus bekommen.
"

Zeig mal bitte !

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Mit der bedingten Wahrscheinlichkeit komme ich auf 12%

P(A)=3/25

P(B)=5/25

P(A∩B)=3/125

Formel:

P_B(A)=P(A∩B)/P(B)

P_B(A)=(3/125)/(5/25)

Ergebnis:

P_B(A)=3/25  -----> 0.12 → 12%

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Das Ergebnis widerspricht obiger Rechnung - eine Lösung besagt 42% und eine Lösung besagt 12%.

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Eine meiner Lösungen besagt 0.43%. Hier rechne ich unter der Prämisse, dass es keine bedingte WKT ist.

Bei 12% schon.

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Das habe ich im übrigen auch, unnötig kompliziert, über die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit heraus bekommen.

Zeig mal bitte!

Ich habe die Situation als Ziehen von drei Fahrzeugen ohne Zurücklegen aus der Menge der 25 Fahrzeuge modelliert. Mit den Verabredungen R:="alle Fahrzeuge sind rot" und D:="alle Fahrzeuge sind Diesel" und der Annahme, R und D sind stochstisch unabhängig (vgl. dritte Zeile), ergibt sich dann:

$$P(R) = \dfrac{3}{25}\cdot \dfrac{2}{24}\cdot \dfrac{1}{23} = \dfrac{1}{2300} \\[18pt] P(D) = \dfrac{5}{25}\cdot \dfrac{4}{24}\cdot \dfrac{3}{23} = \dfrac{1}{230} \\[18pt] P(R\cap D) = P(R)\cdot P(D) = \dfrac{1}{10\cdot 230^2} \\[18pt] P_R(D) = \dfrac{P(R\cap D)}{P(R)} = \dfrac{\dfrac{1}{10\cdot 230^2}}{\dfrac{1}{10\cdot 230}} = \dfrac{1}{230} $$Hinterher ist mir aufgefallen, dass unter den genannten Voraussetzungen die zweite Zeile allein völlig genügt hätte.

Ich bleibe also bei dem bereits in der Antwort genannten Ansatz.

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Die stochastische Unabhängigkeit ist also Voraussetzung für die Lösung von 0,43%

Die stochastische Abhängigkeit ist also Voraussetzung für die Lösung von 12%

Daher bleibe ich dabei: Diese Aufgabe ist ist nicht eindeutig lösbar.

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Nein, das sehe ich völlig anders. Die stochastische Unabhängigkeit müssen wir annehmen, weil wir keinerlei Informationen haben, dass es anders sein könnte. (In der Hessen-Aufgabe wird dies ausdrücklich vorausgesetzt.)

Das Problem mit der 12%-Lösung sehe ich eher darin, dass die entsprechenden Lösungswege gar nicht zur eigentlichen Aufgabe passen, und daher etwas ganz  anderes berechnet wird als es sollte.

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Ich kann dieser Antwort keinen mathematischen Gehalt entnehmen - sorry.

IQB hat einfach die stochastische Unabhängigkeit in der der Aufgabenstellung vergessen- daher "müssen" wir Unabhängigkeit gar nicht erst annehmen....

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Das IQB hat, meiner Meinung nach, diesen Hinweis nicht vergessen, sondern die Hessen haben ihn hinzugefügt, um es den Abiturienten leichter zu machen.

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Kommentar zu Gast az0815:

Ich habe zu den Lösungen von Gast noch 2 Fragen:

1. Ziehen ohne Zurücklegen impliziert doch immer stochastische Abhängigkeit. Wieso darf man dann ohne Zurücklegen ziehen und dann stochastische Unabhängigkeit annehmen ?

2. Muss die Berechnung der Wahrscheinlichkeit nicht P(r) unter der Bedingung D lauten wie bei racine. Hier wird P(D) unter der Bedingung r bestimmt.....

Sorry für die Nerverei

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1. Ziehen ohne Zurücklegen impliziert doch immer stochastische Abhängigkeit.

Das ist nicht richtig. Grundsätzlich ist "stochastische Abhängigkeit" eine Beziehung zwischen Ereignissen. Ein Zufallsversuch kann sowohl Ereignisse ermöglichen, die stochastisch abhängig sind, als auch solche, die stochastisch unabhängig sind.

Damit die vorliegende Aufgabe aber überhaupt lösbar wird, müssen wir die stochastische Unabhängigkeit voraussetzen.

Falls einer der Mitleser eine bessere Erklärung des Sachverhaltes weiß, möge er diese bitte mitteilen.

Answer 2

Das Thema ist, ähnlich wie das Ziegenproblem, problematisch und es war wohl kein guter Gedanke dieses Forum als Möglichkeit zur Darstellung der Komplexität der Problemstellung auszuwählen.

Trotzdem Danke