Basis eines durch die Gleichung -2x(1)+x(2)= 0 gegebenen Untervektorraumes berechnen

Question

Heey

Ich hätte eine Frage zur Berechnung einer Basis.

Grundsätzlich habe ich das Thema begriffen und kann die Basis auch berechnen, wenn ich mehrere Vektoren habe.

Nun habe ich aber die Gleichung gegeben und komme nicht weiter. Grundsätzlich haben wir bisher auch bei der linearen Abhängigkeiten nicht mi Matrizen gerechnet. :S und im Internet finde ich nur solche Erklärungen, die mir dann auch nicht wirklich helfen.

 

Nun meine Aufgabe :  {(x_1, x₂₎ ∈ ℝ²│-2x₁ +x₂ = 0} ⊂ ℝ²  ⇒ hiervon soll ich nun die Basis berechnen

die zweite Aufgabe wäre dann: {(x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³│x₁ + x₂ + 4* x₃ = 0} ⊂ ℝ³, wobei ich davon ausgehe, dass ich diese Aufgabe auch verstehe, wenn ich die erste verstehe :)

 

Danke für jede Hilfe :)

Comments

hi

bei der ersten aufgabe würde ich

x2 = 2x1 rechnen und die basis ergäbe sich zu v = (1,2)

damit ist für jedes a aus ℝ  mit av = (1*a,2*a) die bedingung -2x₁ +x₂ = 0 erfüllt.

die zweite aufgabe wäre das gleiche in grün:

x3 = -x1/4 -x2/4 | x1 = x2 = 1

x3 = -1/2

basis: v = (1, 1, -1/2)

probe: av = (x1, x2, x3) = (a, a, -a/2)

x1 + x2 +4x3 = a + a -4a/2 = 2a - 2a = 0

auch hier ist die bedingung für alle a aus ℝ erfüllt.

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ah, da fällt mir gerade ein, die basis von ℝ² hat ja 2 vektoren, und von ℝ³ drei vektoren.

bei der ersten aufgabe wäre die basis dann v1 = (1,0), v2 = (0,2)

und bei der dritten v1 = (1,0,0), v2 = (0,1,0), v3 = (0,0,-1/2)

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das gefällt mir aber immer noch nicht.

mist warum kann ich das hier nicht löschen ....

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Es kann doch aber auch sein, dass ein Vektor im ℝ² nur ein Basiselement hat? Ich habe dieselbe Lösung wie du erhalten.

Allerdings glaube ich, dass die 2. Aufgabe 2-Dimensional ist, also ein Raum im ℝ³ von zwei Vektoren aufgespannt wird.
Allerdings komm ich da nicht ganz weiter:S

 

Aber danke schonmal für deine Mühe und deine Hilfe, denn dein erster Schritt bei der zweiten Aufgabe leuchtet ein, allerdings weiss ich nicht ganz, wie man auf einen weiteren Vektor kommt?

Answer 1

(1)  Wähle z.B.  x₁ ∈ ℝ  beliebig. Dann ist  x₂ = 2·x₁. Lösungen sind also
alle  (x,2·x) ∈ ℝ²  mit  x ∈ ℝ. Eine mögliche Basis dafür ist  {(1,2)}.

(2)  Wähle z.B.  x₂,x₃ ∈ ℝ  beliebig. Dann ist  x₁ = -x₂ - 4·x₃. Lösungen sind also
alle  (-y - 4·z,y,z) ∈ ℝ³  mit  y,z ∈ ℝ. Eine mögliche Basis dafür ist  {(-1,1,0),(-4,0,1)}.