Entscheiden Sie ob die Gleichung (U1 ∩ U2) + U3 = (U1 + U3) ∩ (U2 + U3) stets erfüllt ist.

Question

Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U1, U2, U3 Untervektorräume von V .

Entscheiden Sie (Beweis oder Gegenbeispiel), ob die Gleichung

(U1 ∩ U2) + U3 = (U1 + U3) ∩ (U2 + U3) stets erfüllt ist.

Answer 1

Die Gleichung ist nicht immer erfüllt. Es ist zwar immer

\((U_1 \cap U_2) + U_3 \subseteq (U_1 + U_3)\cap (U_2+U_3)\).

Aber umgekehrt ist nicht unbedingt

\((U_1 \cap U_2) + U_3 \supseteq (U_1 + U_3)\cap (U_2+U_3)\),

wie das folgende Gegenbeispiel zeigt.

\(K = \mathbb{R}\)

\(V = \mathbb{R}^2\)

\(U_{1}=\left\langle\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}\right\rangle=\left\lbrace\begin{pmatrix}\lambda \\ 0 \end{pmatrix}\middle|\lambda\in\mathbb{R}\right\rbrace\)

\(U_{2}=\left\langle\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}\right\rangle=\left\lbrace\begin{pmatrix}0 \\ \lambda \end{pmatrix}\middle|\lambda\in\mathbb{R}\right\rbrace\)

\(U_{3}=\left\langle\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\rangle=\left\lbrace\begin{pmatrix} \lambda \\ \lambda \end{pmatrix}\middle|\lambda\in\mathbb{R}\right\rbrace\)

Dann ist

\(\underbrace{(U_1\cap U_2)}_{=\left\lbrace \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\right\rbrace}+U_3 = U_3\ne\mathbb{R}^2 = \underbrace{(U_1 + U_3)}_{=\mathbb{R}^2}\cap\underbrace{(U_1 + U_3)}_{\mathbb{R}^2}\text{.}\)

Comments

Danke für diese Antwort aber warum hier U1+U3 =R² bzw. U2+U3=R²

und warum U₃  ≠ R² ?

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\(U_1 + U_3 = \mathbb{R}^2\) bzw. \(U_2 + U_3 = \mathbb{R}^2\) ist der Fall, weil \(\left\lbrace\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\right\rbrace\) bzw. \(\left\lbrace\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\right\rbrace\) jeweils eine Basis des \(\mathbb{R}\)-Vektorraums \(\mathbb{R}^2\) sind.

Bzw. noch etwas anders ausführlicher begründet:

\(U_1 + U_3\) ist ein Untervektorraum von \(\mathbb{R}^2\), da \(U_1\) und \(U_3\) Untervektorräume von \(\mathbb{R}^2\) sind. Daher ist \(U_1 + U_3\subseteq \mathbb{R}^2\).

Andererseits ist für jeden Vektor \(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2\) \[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\in U_1}+\underbrace{\begin{pmatrix} x_2 \\ x_2\end{pmatrix}}_{\in U_3}\in U_1 + U_3,\] womit \(\mathbb{R}^2 \subseteq U_1 + U_3\) folgt.

Wegen \(U_1 + U_3 \subseteq \mathbb{R}^2\) und \(\mathbb{R}^2 \subseteq U_1 + U_3\) ist \(U_1 + U_3 = \mathbb{R}^2\).

Analog ist \(U_2 + U_3 = \mathbb{R}^2\).

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Offensichtlich ist \(U_3\) nur ein eindimensionaler Unterraum des zweidimensionalen \(\mathbb{R}\)-Vektorraums \(\mathbb{R}^2\), weshalb \(U_3\ne \mathbb{R}^2\) ist.

Bzw. kann man das auch so begründen, dass beispielsweise \(\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^2\) ist, aber \(\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}\notin U_3\) ist.