Zeige, dass es genau eine stetige Funktion f: [0,1] -> R gibt mit f(x) = x + 1/2 sin(f(x))

Question

ich weiß leider gar nicht, wie ich diese Aufgabe lösen kann.
Das sieht für mich etwas nach Fixpunktbestimmung aus. Jedoch habe ich gar keine Ansätze.

Bitte um Tipps.

Danke :)

Answer 1

Wenn Du Deine Idee verfolgen willst, dann schreibe als Fixpunktgleichung \(y=x+\frac{1}{2}\sin y\) auf und betrachte \(x\) als Parameter. Wenn zum Parameterwert \(x=\xi\in[0,1]\) die Lösung \(y=\eta\) gehoert, dann kannst Du \(f(\xi)=\eta\) setzen. Diese Funktion genuegt dann nach Konstruktion der vorgelegten Gleichung. Die Idee muesste offensichtlich noch ausgearbeitet werden.

Anschaulich ist von vornherein klar, dass es klappt.

~plot~x;0.5*sin(x);0.25+0.5*sin(x);0.5+0.5*sin(x);0.75+0.5*sin(x);1.0+0.5*sin(x);[[-0,1|2|-0,1|2]]~plot~