Fixpunktsatz: Es gibt genau eine stetige Funktion f:[0,1] -> R mit f(x) = x+0,5*sin(f(x))

Question

Aufgabe:

Zeige mit Hilfe des Banach'schen Fixpunktsatzes: Es gibt genau eine stetige Funktion f:[0,1] → ℝ, die der Gleichung

f(x) = x + 0,5*sin(f(x))  (x ∈ [0,1]))

genügt.

Problem/Ansatz:

Ich hatte die Idee eine Abbildung p: C[0,1] → C[0,1] zu definieren. Mit pg(x) := x + 0,5sin(g(x))

Hat p einen Fixpunkt, so ist das die oben genannte Funktion und die Aufgabe gelöst. Allerdings muss ich zeigen das p eine strikte Kontraktion ist. Hierbei komm ich nicht weiter.

Answer 1

Sei $$   T(f(x)) = x + \frac{1}{2} \sin( f(x) )  $$ Zu zeigen ist, dass gilt $$  \|  T(f(x)) - T(g(x)) \| \le k \ \| f(x) - g(x) \| $$ mit \( 0 \le k < 1 \)

Ausgeschrieben ergibt sich $$  \| T(f(x)) - T(g(x)) \| = \frac {1}{2} \| \sin(f(x)) - \sin(g(x))  \|  =  \left\|  \cos\left( \frac{f(x)+g(x)}{2} \right) \sin\left( \frac{f(x)-g(x)}{2} \right) \right \| \le   \frac{1}{2} \left\|  f(x) - g(x) \right\| $$

Also ist \(T(f) \) Lipschitzstetig mit \( k = \frac{1}{2} \) und die Kontraktionsbedingung ist erfüllt.

Comments

Super Dankeschön! Die letzte Abschätzung ist mir allerdings noch etwas unklar. Wird dort weiter mit einem der Additionstheoreme gearbeitet?

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Es gilt \( | \cos(x) | \le 1 \) und \( | \sin(x) | \le |x| \), Tipp Taylorreihe.