$$ U(x,y) = ln(5-x^2-y^2) $$
$$ D:= \left\{ (x,y) \in \mathbb R ^2 : x^2+y^2 \leq 4\right\} $$
Berechne
$$ \int \int_{D} \triangle U(x,y) d(x,y) $$
$$ \triangle U(x,y) = div(\nabla U(x,y)) $$
Meine Idee:
$$ \nabla U(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{d}{dx} \\ \frac{d}{dy} \end{pmatrix} \cdot ln(5-x^2-y^2) = \begin{pmatrix} \frac{2x}{x^2+y^2-5} \\ \frac{2y}{x^2+y^2-5} \end{pmatrix} $$
$$ div( \nabla U(x,y)) = \begin{pmatrix} \frac{d}{dx} \\ \frac{d}{dy} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{2x}{x^2+y^2-5} \\ \frac{2y}{x^2+y^2-5} \end{pmatrix} = \frac{-20}{(x^2+y^2-5)^2} $$
$$ \int \int_{D} \triangle U(x,y) d(x,y) = \int_{-4}^{4} \int_{-\sqrt{4-x^2} }^{\sqrt{4-x^2} } \frac{-20}{(x^2+y^2-5)^2} dy dx $$
Das Integral scheint mir aber viel zu schwer zu lösen zu sein? Also vermute ich einen Fehler.
