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Aufgabe:

Gegeben seien die skalaren Felder ϕ1 = cos (a · r) und ϕ2 = e^−αr2    (a konstanter Vektor, α=konst.)

a) Berechnen Sie jeweils grad ϕ = ∇ϕ

b)Berechnen Sie anschließend die Divergenz dieser Vektorfelder div grad ϕ = ∇ · (∇ϕ)


Ich stehe kurz vor den Prüfungen und kann wahrscheinlich die einfachste Rechnung nicht berechnen. Ich habe gar keinen Ansatz, vielleicht kann mir jemand helfen. Danke!

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"Ich habe gar keinen Ansatz, ..."

Und wieso benutzt du nicht einfach die Definition von grad und div ?

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\vec\nabla\cos(\vec a\cdot\vec r)=\vec\nabla\cos(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)=\begin{pmatrix}-\sin(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)\cdot a_1\\-\sin(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)\cdot a_2\\-\sin(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)\cdot a_3\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec\nabla\cos(\vec a\cdot\vec r)}=-\vec a\sin(\vec a\cdot\vec r)$$$$\vec\nabla\cdot\left(-\vec a\sin(\vec a\cdot\vec r)\right)=-\vec a\cdot\vec\nabla\sin(\vec a\cdot\vec r)=-\vec a\begin{pmatrix}\cos(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)\cdot a_1\\\cos(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)\cdot a_2\\\cos(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)\cdot a_3\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec\nabla\cdot\left(-\vec a\sin(\vec a\cdot\vec r)\right)}=-a^2\cos(\vec a\cdot\vec r)$$

$$\vec\nabla e^{-\alpha r^2}=e^{-\alpha r^2}\cdot(-2\alpha\vec r)=-2\alpha\vec r\,e^{-\alpha r^2}$$$$\vec\nabla\cdot\left(-2\alpha\vec r\,e^{-\alpha r^2}\right)=-2\alpha(\vec\nabla\cdot\vec r)e^{-\alpha r^2}-2\alpha\vec r\,\vec\nabla(e^{-\alpha r^2})$$$$\phantom{\vec\nabla\cdot\left(-2\alpha\vec r\,e^{-\alpha r^2}\right)}=-2\alpha\cdot3\cdot e^{-\alpha r^2}-2\alpha\vec r\cdot(-2\alpha\vec r e^{-\alpha r^2})=(4\alpha^2r^2-6\alpha)\,e^{-\alpha r^2}$$

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