Beweisen von Ungleichungen

Question

Beweisen Sie die Ungleichungen

a) r/(1+r) < s/(1+s) wenn 0≤r<s
a) \( \frac{r}{1+r}<\frac{s}{1+s} \) wenn \( 0 \leq r<s \),

b) (x+y)/(1+|(x+y)|) ≤ |x|/(1+|x|) + |y|/(1+|y|) ∀x,y ∈ ℝ
b) \( \frac{x+y}{1+|x+y|} \leq \frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|} \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \)

Hinweis: b) wird durch Fallunterscheidung(en) unter Benutzung von a) auf eine einfache Ungleichung reduziert. Halten Sie die Anzahl der Fälle minimal indem Sie zunächst die einfachsten Fälle betrachten und alle vorhandenen Symmetrien der Ungleichung nutzen.

Answer 1

Zu a)  Sei r ≥ 0. Dann gilt$$r < s \Leftrightarrow r+rs < s+rs \Leftrightarrow r(1+s) < s(1+r) \Leftrightarrow \frac r{1+r}< \frac s{1+s} $$