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Aufgabe:

1/x-1 - 2/x+2>=0


Problem/Ansatz:

Die Auflösung verstehe ich und die ist recht simpel Lösung x<=4, aber die Fallunterscheidung verstehe ich überhaupt nicht. Kann mir dies jemand erklären, die Vorgehensweise. DANKE

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Aloha :)

1x12x+20(x+2)2(x1)(x+2)(x1)04x(x+2)(x1)0\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+2}\ge0\Longleftrightarrow\frac{(x+2)-2(x-1)}{(x+2)(x-1)}\ge0\Longleftrightarrow\frac{4-x}{(x+2)(x-1)}\ge0

Jetzt brauchst du dir eigentlich nur zu überlegen, wann Zähler und Nenner dasselbe Vorzeichen haben, denn nur dann ist der Bruch 0\ge0.

1. Fall: Zähler und Nenner positiva)4x0    x+2>0    x1>0    x4    x>2    x>1    1<x4\text{a)}\quad 4-x\ge0\;\land\;x+2>0\;\land\;x-1>0\implies x\le4\;\land\; x>-2\;\land\;x>1\implies 1<x\le4b)4x0    x+2<0    x1<0    x4    x<2    x<1    x<2\text{b)}\quad 4-x\ge0\;\land\;x+2<0\;\land\;x-1<0\implies x\le4\;\land\; x<-2\;\land\;x<1\implies x<-2

2. Fall: Zähler und Nenner negativa)4x0    x+2>0    x1<0    x4    x>2    x<1    {}\text{a)}\quad 4-x\le0\;\land\;x+2>0\;\land\;x-1<0\implies x\ge4\;\land\; x>-2\;\land\;x<1\implies \{\}b)4x0    x+2<0    x1>0    x4    x<2    x>1    {}\text{b)}\quad 4-x\le0\;\land\;x+2<0\;\land\;x-1>0\implies x\ge4\;\land\; x<-2\;\land\;x>1\implies\{\}Dieser Fall steuert keine Lösung bei.

Die Lösungsmenge ist also:L={xRx<2  1<x4}L=\left\{x\in\mathbb R\,\big|\,x<-2\;\lor 1<x\le4\right\}

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f1(x) = 1/(x-1)-2/(x+2)Zoom: x(-10…6) y(-4…4)


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Danke für deine Antwort, leider verstehe ich es nicht ganz. Du hast vier mal das Gleiche kopiert, einfach nur bei 4 und 1 das Zeichen gewechselt aber bei 2 nicht? wieso den

Zähler und Nenner müssen dasselbe Vorzeichen haben.


Zähler positiv: 4x0    x44-x\ge0\implies x\le4

Nenner positiv: x+2>0x+2>0 und x1>0    x>2x-1>0\implies x>-2 und x>1x>1

Nenner positiv: x+2<0x+2<0 und x1<0    x<2x-1<0\implies x<-2 und x<1x<1


Zähler negativ: 4x0    x44-x\le0\implies x\ge4

Nenner positiv: x+2<0x+2<0 und x1>0    x<2x-1>0\implies x<-2 und x>1x>1

Nenner positiv: x+2>0x+2>0 und x1<0    x>2x-1<0\implies x>-2 und x<1x<1

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