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Bestimmen Sie die Tangentialebene an (π/2 | 0) von f(x, y) = sin(x) cos(y).

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die allgemeine Form der Tangentialebene lautet ja

$$ E: z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0), \\\text{   wobei   } f(x_0,y_0)=z_0 $$

$$ f_x(x_0,y_0)\text{  Ableitung nach x}\\f_y(x_0,y_0)\text{  Ableitung nach y}\\x_0,y_0\ und \ z_0 \text{  belibiege Stellen, welche die Koordianten vom Punkt bilden} $$

Nun muss einfach das für die Formel erforderliche gebildet werden:

$$ x_0=\frac{\pi}{2}\\y_0=0\\f\Big(\frac{\pi}{2},0\Big)=\sin\Big(\frac{\pi}{2}\Big)\cdot\cos(0)=1\cdot 1=1=z_0 $$

Dann hat man den Punkt $$ P\Big(\frac{\pi}{2},0,1\Big) $$

Nun werden die Ableitungen gebildet:

$$ f_x(x_0,y_0)=\cos(x)\cdot\cos(y)\qquad f_x\Bigg(\Big(\frac{\pi}{2}\Big),0\Bigg)=\cos\Big(\frac{\pi}{2}\Big)\cdot\cos(0)=0\cdot 1 =0\\f_y(x_0,y_0)=-\sin(x)\cdot\sin(y)\qquad f_x\Bigg(\Big(\frac{\pi}{2}\Big),0\Bigg)=-\sin\Big(\frac{\pi}{2}\Big)\cdot\sin(0)=-1\cdot 0=0 $$

Und jetzt nur noch alle einsetzen und schon hat man die Tangentialebene:

$$ E: z=1+0(x-\Big(\frac{\pi}{2}\Big))+0(y-0)\\ \underline{\underline{E:z=1}} $$

von 12 k

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