Binomialverteilungaufgabe

Question

Die Krone von Jakob III. befindet sich in einem Tressorraum, der mit 4 Sicherheitssystemen ausgestattet ist, die unabhängig voneinander funktionieren. Joe kann jedes der Sicherheistsysteme mit der Wahrscheinlichkeit p ausschalten. Er kann die Krone nur stehlen, wenn er alle Sicherheitssysteme ausschaltet.

a.) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion, die jedem p mit 0<p<1(mit Linie unter <) die Wahrscheinlichkeit zuordnet, dass die Krone vor Joe sicher sind.

b.) Wie “gut” muss Joe sein, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% die Krone stehlen kann?

Danke

Answer 1

Wenn alle 4 Versuche erfolgreich sein sollen ergibt das eine Wahrscheinlichkeit von \( p^4 \) und das ist größer oder gleich 80%, wenn \( p \ge \sqrt[4]{0.8} =94.6 \%\) gilt.

Wenn Joe nicht erfolgreich sein soll, muss ein Versuch von den 4 Versuchen daneben gehen. Das bedeutet die Wahrscheinlichkeit ist

$$ F(p) = \sum_{k=0}^3 \binom{4}{k} p^k (1-p)^{4-k} = 1 - p^4 $$