das wichtigste mal zu Beginn: für lineare Abbildungen \( A: V \to W \) gilt
$$ \dim V = \operatorname{rg} (A) + \operatorname{defekt}(A) = \dim(\operatorname{im} A) + \dim(\ker A) $$ (Rangsatz)
Nun hast du das Minimalpolynom gegeben. Die Eigenwerte der Matrix sind die Nullstellen davon, also i, 2i, 3i, 4i. Insgesamt haben wir 14 Eigenwerte.
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts gibt ja an, wie viele Jordanblöcke zu diesem Eigenwert existieren. Die geometrische Vielfachheit berechnen wir jetzt mit dem Rangsatz:
$$ a_{1}(i) = \dim \ker (A - iE) = 14 - \operatorname{rg}(A-iE) = 14 - 11 = 3 $$$$ a_{1}(3i) = \dim \ker (A - 3iE) = 14 - \operatorname{rg}(A-3iE) = 14 - 12= 2 $$$$ a_{1}(4i) = \dim \ker (A - 4iE) = 14 - \operatorname{rg}(A-4iE) = 14 - 13 = 1 $$
Über die Anzahl der Jordanblöcke zu 2i wissen wir erstmal noch nichts.
Jetzt schauen wir uns mal die Exponenten im Minimalpolynom an, diese geben nämlich die maximale Größe der Jordanblöcke an. Bspw. der Eigenwert i hat im Minimalpolynom die Vielfachheit 2, heißt jeder zum EW i gehörende Jordanblock ist maximal 2x2 groß und es existiert auch mindestens einer der 2x2 groß ist. Analog für den Rest.
Wir wissen jetzt es existiert nur ein Jordanblock zu 4i und dieser ist 3x3 groß (betrachte den Exponent im Minimalpolynom). Heißt wir sind mit dem Eigenwert 4i schon mal fertig und die algebraische Vielfachheit von 4i ist \(a_{alg}(4i) = 3 \)
-----
Machen wir mal mit dem Eigenwert i weiter:
$$ a_2(i) = \dim \ker (A - iE)^2 = 14 - \operatorname{rg} (A - iE)^2 = 14 - 10 = 4 $$
Dann ist \( 2 \cdot a_1(i) - a_2(i) = 2\cdot3 - 4 = 2 \) die Anzahl der 1x1 Jordanblöcke zum Eigenwert i.
Zusammenfassung: Für i existieren 3 Jordanblöcke, 2 haben die Größe 1x1 und einer muss die Größe 2x2 (Exponent Minimalpolynom) haben.
Insb. \( a_{alg}(i) = 2 \cdot 1 + 2 = 4 \)
-----
Jetzt zum Eigenwert 3i:
$$ a_2(3i) = \dim \ker (A - 3iE)^2 = 14 - \operatorname{rg} (A - 3iE)^2 = 14 - 10 = 4 $$Wieder ist \( 2 \cdot a_1(3i) - a_2(3i) = 2\cdot 2 - 4 = 0 \) die Anzahl der 1x1 Jordanblöcke zum Eigenwert 3i.
Zusammenfassung: Es gibt 2 Jordanblöcke, einer hat die Größe 2x2 (Exponent Minimalpolynom) und es gibt auch keine größeren Blöcke. Andererseits gibt es auch keine 1x1 Blöcke, also haben beide Jordanblöcke die Größe 2x2
Wir können auch hier die algebraische Vielfachheit bestimmen: \( a_{alg} (3i) = 2 \cdot 2 = 4 \)
-----
Zum letzten Eigenwert 2i. Es ist \( 14 = a_{alg} (i) + a_{alg} (2i) + a_{alg} (3i) + a_{alg} (4i) \). Also \( a_{alg}(2i) = 3 \). Wir müssen jetzt 3 mal 2i so auf Jordanblöcke verteilen, dass jeder die Größe 1x1 hat (wie immer Exponent Minimalpolynom). Gibt wohl drei 1x1 Blöcke für 2i.
Noch aufschreiben:
$$ \begin{pmatrix} i \\ & i \\ & & i & 1 \\ &&0&i \\ &&&&2i\\&&&&&2i \\&&&&&&2i \\ &&&&&&&3i & 1\\&&&&&&&0&3i\\&&&&&&&&&3i & 1\\ &&&&&&&&&0&3i \\ &&&&&&&&&&&4i&1&0 \\ &&&&&&&&&&&0&4i&1& \\&&&&&&&&&&&0&0& 4i \end{pmatrix} $$
fertig.
