Stichprobenmittelwert Statistik

Question

Die Aufgabe lautet:

Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit Erwartungswert 200 und Varianz 45. Es wird eine einfache Zufallsstichprobe X1,X2,…,X12 vom Umfang n=12 gezogen und der Stichprobenmittelwert X¯¯¯¯ berechnet.

a)

Bestimmen Sie den Erwartungswert des Stichprobenmittels X¯.

b)
Bestimmen Sie die Varianz des Stichprobenmittelwerts X¯. Geben Sie dieses Ergebnis kaufmännisch auf zwei Nachkommastellen gerundet an.

c)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X¯¯¯¯ größer als 203 ist? Runden Sie Ihr Ergebnis kaufmännisch auf vier Nachkommastellen.

d)
Berechnen Sie das 0,01-Quantil und das 0,99-Quantil von X¯¯¯¯. Runden Sie Ihre Ergebnisse kaufmännisch auf zwei Nachkommastellen.

Wie genau löst man diese Aufgabe?

Answer 1

$$  E \left(  \overline{x}  \right) = \mu = 200 $$

$$  \text{Var}\left(  \overline{x}  \right) = \frac{\sigma^2}{n} $$ also ist \( \overline{x} \) Normalverteilt mit Erwartungswert \( 200  \) und Streuung \( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{12}} \)

$$ P( \overline{x} \ge 203 )  = 1 -  P( \overline{x} < 203 ) = 1-F(203) $$ wobei \( F(x) \) die Verteilungsfunktion der Normalverteilung zum Mittelwert \( 200 \) und Streuung \( \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{12}} \) ist.

Es ergibt sich $$  1 - F(203) = 0.0607 $$

Für das 0.99 Quantil muss gelten \( F(\overline{x}) = 0.99 \) Aus der Standardnormalverteilungstabelle kann man dann ablesen \( \overline{x} = 204.5 \) uund für das 0.01 Quantil ergibt sich \( \overline{x} = 195.5 \)

Comments

Kannst du Teil d einmal erklären?

Wie komme ich auf 204,5 und auf 195,5?

Danke

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Es gilt $$  F(x) = \Phi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) $$ mit \( \Phi(x) \) ist die Standardnormalverteilung und ist hier tabelliert.

https://de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteilungstabelle

Für $$  \Phi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) = 0.99 $$ liest man grob den Wert

$$  \frac{x-\mu}{\sigma} = 2.33 $$ ab. Lineare Interpolation ergibt genauer den Wert $$  \frac{x-\mu}{\sigma} = 2.326296 $$ und daraus folgt $$ x = 204.504953 $$

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1 - F(203) = 0.0607

wie kommst du auf die Zahl ?

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Quantil 0.01 wo hast du das abgelesen ?