Orthogonale Matrix bestimmen

Question

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Bestimmen sie eine orthogonalmatrix zu A

A=

 2 -1 1

-1  2 1

 1  1 2

Ich habe als charakteristisches Polynom folgendes Ergebnis:

P(x)=-x^3+6*x^2-13*x+8

Als Eigenwert bekomme ich nur x1=1 heraus. Nach der Polynomdivision wird die Determinnate <0 also gibt es keine weiteren Nullstellen --> keine weiteren Eigenwerte. Wenn ich nun den Eigenvektor bestimmen will erhalte ich einen Widerspruch.

Heißt das, dass es keinen Eigenvektor gibt?

Ist mein Weg zur orthogonalmatrix überhaupt korrekt?

Danke für die Antworten

Answer 1

Das charakteristische Plynom ist falsch, es lautet korrekt \( -\lambda^3 + 6 \lambda^2 - 9 \lambda \) und die Nullstellen

\( \lambda_{1,2,3} = 0, 3, 3 \)

Die Eigenvektoren sind

$$ \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}  $$

Jetzt musst Du noch orthogonale Vektoren dazu finden nach dem Gram Schmidt Verfahren.