Partikuläre Lösung einer Differentialgleichung 1. Ordnung, Integration

Question

möchte folgende Integralgleichung lösen, die aus einer partikulären Lösung einer Differentialgleichung 1. Ordnung stammt:

C=Integral 1/((1-x²)^0.25*(x²-1)^0.25)dx=Integral 1/((-x+1)^0.25*(x+1)^0.25*(x-1)^0.25*(x+1)^0.25)dx

per Hand ist dies nicht möglich, deshalb folgende Vorüberlegung:

b=x-1; -b=-x+1; x+1=a; b+2=a, daraus folgt:

b^0.25*a^0.25=(x²-1)^0.25 =f(z)*f(q)

-[-b]^0.25*a^0.25=-[-x²+1]^0.25 =-f(-z)*f(q)

 ~plot~ -((-(x-1)^2)-2(x-1))^0.25; asin(x);((x-1)^2+2(x-1))^0.25; ~plot~

für a wird (b+2) eingesetzt, daraus folgt:

b^0.25*(b+2)^0.25 und -[-b]^0.25*(b+2)^0.25; daraus folgt:

Integral b^0.25*(b+2)^0.25dx von -Unendlich bis -1 + Integral -[-b]^0.25*(b+2)^0.25dx von -1 bis 0 =

Integral -[-b]^0.25(b+2)^0.25dx von 0 bis 1 + Integral  b^0.25*(b+2)^0.25dx von 1 bis Unendlich; daraus folgt, wenn bei -f(-z)*f(q) und

f(z)*f(q) die Integrationsgrenzen getauscht werden, dies ist möglich, da diese Funktionen an der y-Achse gespiegelt werden:

dadurch erhalte ich folgenden Term, zusammengefassten Term, ist dies Richtig (?):

2*Integral b^0.25*(b+2)^0.25dx von 1 bis einer Grenze, die ich nicht weiß = Betrag von 2*Integral -[-b]^0.25*(b+2)^0.25dx von 0 bis 1

Gesucht wird von mir die Grenze, wie weiter oben angegeben, damit diese Gleichung erfüllt ist!

den arcsin(x) habe ich nur so mit eingetragen, da dies die Hauptproblematik ist, mit der ich mich immer noch beschäftige

Dankschön für die Antworten! Bert Wichmann!

Answer 1

∫ 1/((1-x²)^{1/4}*(x²-1)^{1/4})dx

= (sqrt(x^2 - 1) log(sqrt(x^2 - 1) + x))/(-(x^2 - 1)^2)^{1/4} + c

=-((-(x^2 - 1)^2)^{3/4}* log(sqrt(x^2 - 1) + x))/(x^2 - 1)^{3/2} + c

mit sqrt(x)=x^{1/2}=x^0.5

Die ganzen Umwege und die ständig wechselnden Aussagen zur Integrationsgrenze (mal -1... 0 mal 1...∞ mal "Gesucht wird von mir die Grenze" ) verstehe ich nicht.