Logistische Differentialgleichung für Höhenwachstum von Sonnenblumen

Question

Das Höhenwachstum von Sonnenblumen kann durch eine logistische Differentialgleichung beschrieben werden. Dieses wurde im Jahr 1919 von den Naturwissenschaftlern H. S. Reed und R. H. Holland empirisch bestätigt. Unter bestimmten Umweltbedingungen erreicht eine Sonnenblumenart eine maximale Höhe von 2,4 Metern. Zu Beginn der Beobachtung hat sie eine Höhe von 28 cm, 4 Wochen später ist sie 1,12 m hoch. Bestimme die Differentialgleichung dieses Wachstumsprozesses

Ich bräuchte bitte eure Hilfe

Answer 1

f ( t ) = G * 1 / ( 1+ e^{-k*G*t} * ( G / f(0) - 1 ) )

G = obere Schranke = 2.4 m
f ( 0 )= 0.28 m
f ( 4 Wochen | 1.12 m )

f ( t ) = 2.4 * 1 / ( 1+ e^{-k * 2.4 * t} * ( 2.4 / 0.28 - 1 ))
f ( 4 ) = 2.4 * 1 / ( 1+ e^{-k * 2.4 * 4} * ( 2.4 / 0.28 - 1 )) = 1.12

k = 0.197

f ( t ) = 2.4 * 1 / ( 1+ e^{-0.197 * 2.4 * t} * ( 2.4 / 0.28 - 1 ))

Comments

Bestimme die Differentialgleichung dieses Wachstumsprozesses.

Ich denke das, was du angegeben hast, ist nicht die gesuchte Differentialgleichung.

Vielleicht möchtest du die Differentialgleichung noch anfügen. Die ist doch eigentlich noch viel einfacher.

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Hallo coach,
in 2 unterschiedlichen Quellen fand ich
obige Formel für eine logistische  Funktion.
Diese schien zu passen.

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Ja. Deine Formel passt zu einem logistischen Wachstum. Es ist die Wachstumsfunktion. Allerdings keine Differentialgleichung.

Schau doch noch mal nach was eine Differentialgleichung ist, wenn du es nicht mehr weißt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung

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Schönen Dank für deinen Hinweis.
Unglücklichsterweise hatten meine Bemühungen
mir Differentialgleichungen autodidaktisch
beizubringen ( 2 Bücher ) keinen Erfolg.
Ich ( 64 Jahre ) werde wahrscheinlich sterben ohne dieses Wissen erlangt zu haben.

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Das ist doch einfach eine Gleichung, die Funktionswerte und Änderungsraten zusammen bringt.

Also Beispiele

Die Steigung einer Funktion ist Proportional zu ihrem Funktionswert

f'(t) = k * f(t)

Die Steigung einer Funktion ist Proportional zu der Differenz einer Schranke zu ihrem Funktionswert.

f'(t) = k * (S - f(t))

Die Steigung einer Funktion ist proportional zu dem Produkt des Funktionswertes und der Differenz einer Schranke zu ihrem Funktionswert.

f'(t) = k * f(t) * (S - f(t))

Letzteres ist dann bereits schon die gewünschte Differentialgleichung.

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Nun könntest du mal in die Gleichung

f'(t) = k * f(t) * (S - f(t))

deine Funktion und die Schranke einsetzen und schauen ob diese Gleichung erfüllt ist.

Wenn nicht hab ich mich irgendwo sicher vertan ;)

Answer 2

Schau z.B. hier hinein: https://books.google.de/books?id=Kmu5uOlzc7EC&pg=PA25&lpg=PA25&dq=reed+holland+differenzialgleichung&source=bl&ots=NlrapnIRhV&sig=Ce1xOZwQD1ItmKKdgfNVbFg-dIY&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjW8NSS8__bAhUqNOwKHc0LBHMQ6AEIVjAI#v=onepage&q=reed%20holland%20differenzialgleichung&f=false