Ringhomomorphismen finden bzw. Existenz widerlegen

Question

ich komme bei folgenden Aufgaben nicht weiter:

1. Es sei p ∈ ℕ eine Primzahl. Gibt es einen Ringhomomorphismus f: (ℚ, +, ·) → (ℤ/pℤ), der nicht die Nullabbildung ist? Begründen Sie.

2. Zeigen Sie, dass ein Ringhomomorphismus f: (ℚ, +, ·) → (ℚ, +, ·)  entweder die Nullabbildung oder die Identität ist.
Hinweis: Zeigen Sie zuerst, Ist f nicht die Nullabbildung, so muss f(1) = 1 gelten.

Ich weiß, was ein Ringhomomorphismus ist, aber ich kriege deie Beweise nicht hin.
Bei Aufgabe 1 denke ich, dass es keinen weiteren Ringhomomorphismus gibt.

Könnte mir jemand hierbei freundlicherweise helfen? Ich würde mich sehr freuen.

Answer 1

  Aber klar weißt du, dass es bei 1 einen gibt.   Zielmenge ist doch der ===>  Primrestklassenkörper  F_p  ;  das benutzen wir doch jeden Tag.

    f  (  n  )  :=  n  mod  p      (  1  )

     Zu  2    ;  wähle  ein  a

        f  (  a  )  =  f  (  1  *  a  )  =       (  2a  ) 

         =   f  (  1  )  f  (  a  )          (  2b  )

         (  2b  )  auf die linke Seite von  (  2a  )  bringen

   [  1  -  f  (  1  )  ]  f  (  a  )  =  0       (  3  )

     Nehmen wir an es gibt ein  a ungleich Null mit f ( a ) = 0 .   Dann finde ich für jedes gegebene b eine Darstellung

      b  =  a  x    (  4a  )

   f  (  b  )  =  f  (  a  )  f  (  x  )  =  0  *  f  (  x  )  =  0     (  4b  )

   also identisch gleich Null.  Die Alternative in ( 3 ) wäre f  (  1  )  =  1  .  Dann zeigt man aber  induktiv  für sämtliche natürlichen Zahlen

    f  (  n  )  =  f  (  1 + 1 + ... + 1 )  =  1 + 1 + ... + 1   =  n     (  5a  )

    Und daraus folgt wieder

    f  (  n ^ -  1  *  n  )  =  f  (  1  )  =  1       (  5b  )

      =  f  (  n  ^ -  1  )  f  (  n  )       (  5c  )

      =  n  f  (  n  ^ -  1  )  =  1   |  *  n  ^ -  1      (  5d  )

    und zwar  (  5d  ) wegen ( 5a )

       f  (  n  ^ -  1  )  =  n ^ -  1     (  5e  )

   Jetzt haben wir also sämtliche ganzen Zahlen und die Stammbrüche durch; in einem letzten Schritt bliebe zu zeigen

     f  (  p / q )  =  p  q  ^ -  1     (  6  )

    Ich schmeichle mir, explizit die Struktur von |Q berücksichtigt zu haben und freue mich über jeden, der diesen Beweis abkürzt.