Rekursionsformel beweisen für reelle Folge a(n) = ∫ √(1-x²)^n dx

Question

Ich habe eine reelle Folge $$a(n):= \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}^n dx$$

Die Rekursionsformel dazu lautet:

$$a(n) = \frac{n+3} {n+2}  a(n+2)$$

Ich a(n) mit n aus 0 bis 2 ausgerechnet, für 3 bekomme ich 0 raus.

$$a(0) = 1$$

$$a(1) = pi/4$$

$$a(2) = 2/3$$

$$a(3) = 0 ??!!!$$

Ich wollte das mithilfe von Vollständiger Induktion zeigen. Dazu habe ich am Beispiel von n=0 das Ganze durchgerechnet und - Tadaa - Es funktioniert.

Dann habe ich angenommen, dass es für n=n gilt. Nun wollte ich implizieren, dass es auch für n = n+1 gilt, mehr als ausschreiben kann ich da aber nicht, denn ich kann keine allgemeine Formel für n finden.

Ist mein Weg komplett falsch? War es das schon?

Comments

  Steht jetzt bei deinem Integral das n unter der Wurzel oder nicht?

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Den Werten nach handelt es sich um \(\int_0^1(1-x^2)^{n/2}\,dx\). Ein geschichtstraechtiges Integral. Bei der Beschaeftigung damit hat Newton die Binomialreihe entdeckt.

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Für n=3 gibt es 3pi/16.

Answer 1

Mit der Transformation \( x = \sin(z) \) gilt $$ a_n = \int_0^1 \left( \sqrt{ 1 - x^2 } \right)^n dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n+1}(x) dx   $$

Für das Integral \( I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n}(x) dx \) kann man mittels partieller Integration nachweisen, dass gilt

$$ I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}  $$

Es folgt also $$ a_{n+2} = I_{n+3} = \frac{n+2}{n+3} I_{n+1} = a_n  $$

Also das gewünschte Ergebnis.

Answer 2

  Ich habe ein Spezialverfahren entwickelt, wie du cos ^ n als Fourierreihe ausdrücken kannst. Hier kennst du den Spruch

   " Der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führt immer noch über die komplexe Ebene. "

   Eulersatz; setze

    a  :=  exp  (  +  i  x  )  ;  b  :=  exp  (  -  i  x  )        (  1a  )

   

     Beachte insbesondere

        a  b  =  1     (  1b  )

    Dann konstituiert der Eulersatz das  LGS

      a  =  cos  (  x  )  +  i  sin  (  x  )           (  2a  )

      b  =  cos  (  x  )  -  i  sin  (  x  )          (  2b  )

   Rein formal juristisch lassen sich ( 2ab ) nach den beiden Unbekannten cos und sin auflösen:

          cos  (  x  )  =  1/2  (  a  +  b  )       (  3  )

   Alles was du jetzt noch brauchst, ist der binomische Lehrsatz; beachte jedoch insbesondere ( 1b ) .   Da jedoch hinterher etwas Reelles raus kommen soll, musst du die Summe so umsortieren, dass jeweils komplex konjugierte Pärchen nebeneinander stehen:

   cos  ^ n  (  x  )  =  ( 1 / 2 ^ n )    SUMME  ( n k )   [ a ^ ( n - 2 k ) + b ^ ( n - 2 k ) ]   ( 4a )

   Für gerade n erstreckt sich die binomische Summe wegen der Symmetrie nur bis  k = n/2 ,  für ungerade n bis k = ( n - 1 ) / 2 , so dass du bekommst

   cos  ^ n  (  x  )  =  [ 1 / 2 ^ ( n - 1 ) ]  SUMME  ( n  k  )  cos  (  n  -  2  k  )  x    (  4b  )

   als Fourierreihe der Potenzen der Winkelfunktionen.  Diese Oberwellen lassen sich aber elementar integrieren.