Zeigen, dass AB und BA die gleiche Eigenwerte für A,B ∈ K^nxn

Question

kann mir jemand bei diesen beweisen helfen??

Die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie,

1. ) Sei A ∈ K^nxn mit Eigenwert λ∈ K invertierbar. Dann ist λ ≠ 0 und λ^-1  ein Eigenwert von A^-1

 2.) Für A, B ∈ K^nxn haben AB und BA die gleichen Eigenwerte.

Ich bedanke mich für eure Hilfe

Answer 1

zu 1) Sei A ∈ K^nxn mit Eigenwert λ∈ K invertierbar.

==>  Es gibt v ∈ K^n mit v≠0 und  A*v = λ*v

   A invertierbar                     ==>  A^{-1}*A*v = A^{-1}*λ*v

                                            ==>  v = A^{-1}*λ*v  = λ*A^{-1}*v

Da v≠0 gilt auch λ≠0   also  λ^{-1}*v  = A^{-1}*v , also λ^{-1}

Eigenwert von A^{-1}.

Answer 2

Zu 1)

$$ v = A^{-1} A v = \lambda A^{-1} v  $$ also $$  A^{-1} v = \frac{1}{\lambda} v $$

Zu 2)

https://www.ph.tum.de/academics/bsc/break/2010w/fk_MA9201_04_exercisesolution.pdf

Aufgabe 3