Lagrange Funktion komme nicht auf Lambda

Question

Bin bei folgender Aufgabe schon seit Stunden am rumrechnen, komme aber nicht drauf:

Die Produktionsfunktion eines Herstellers laute
F( x1 , x2 )=19 x₁² +74x₁x₂ +8 x₂²

Man bestimme die optimale Faktorkombination zu den Faktorpreisen 88 und 100, wenn ein Produktionsniveau von 7231 erzielt werden soll.
Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator λ im Optimum?

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Habe die Lagrange-Funktion aufgestellt, aber irgendwie ende ich immer in einer Sackgasse.
x₁ sei x; x₂ sei y:

L(x,y,λ) = 88x + 100y - λ(19x^2 + 74xy + 8y^2 - 7231)
L1 = 88 - 38λx - 74λy
L2 = 100 - 74λx - 16λy

Habe folgendes versucht: I: 88/λ = 38x - 74y  ; II: 100/λ = 74x - 16y
habe dann die I. Gleichung mit 100/88 multipliziert, sodass ich bei beiden Gleichungen 100/λ links habe, danach habe ich sie gleichgesetzt: 43,1818x + 84,0909y = 74x + 16y

irgendwann bin ich auf y = 0.4526 gekommen, was mich absolut nicht weiterbrachte. Egal wo ich die Zahl eingesetzt habe, es kommt nichts vernünftiges raus... danke für eure Hilfe im Voraus.

Comments

ignoriert den letzten Absatz, bin gearde drauf gekommen, dass das nicht geht, wie ich gerechnet habe.

Answer 1

Du bekommst

y = 339/749·x = 0.4526034712·x

Du hast nur das x irgendwo auf der Strecke liegen lassen, ansonsten schaut das richtig aus. Rechne aber mit dem Bruch weiter.

Jetzt hat du ja noch die Nebenbedingung. In die musst du es einsetzen

19·x^2 + 74·x·(339/749·x) + 8·(339/749·x)^2 - 7231 = 0

Dass löst du jetzt nach x auf

x = 749/30367801·√219589569031 = 11.55777740

Hier eine Kontroll-Lösung:

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+88x+%2B+100y+with+19x%5E2%2B74xy%2B8y%5E2%3D7231

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Comments

Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator λ im Optimum?

Geht die Antwort nicht an dieser Frage einfach vorbei?

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Wenn man x berechnet hat kann man auch y und Lambda sehr einfach bestimmen.

Solltest du das nicht hinbekommen, hilft dir sicher der Fragesteller weiter.

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Du hast in der Sache recht! Hatte mir meine Frage nicht ausreichend überlegt. Ist ja auch schon spät.

Werde mich sehr anstrengen und ggf. deinen "Rat" (blöde Bemerkung?)  befolgen :-)

Solltest du das nicht hinbekommen, hilft dir sicher der Fragesteller weiter.

Ich frage mich aber, warum du - und andere Redakteure - eine solche hier überflüssige Aggressivität nicht bei wesentlich wichtigeren Themen an den Tag legen!

Genauer gesagt: Sich dort völlig zurückhalten!!

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Das war eher ein Scherz. Ich zweifel nicht daran, dass du Lambda ausrechnen kannst.

Außerdem sollten wir den Fragestellern auch nicht immer die Arbeit abnehmen.

Der Fragesteller darf es gerne selber probieren und sollte er wieder erwarten das nicht lösen können dann können wir ihm gerne noch etwas weiter unter die Arme greifen.

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Ich war wohl - wegen zu flüchtigen Lesens - vor allem dadurch irritiert, dass das, was du als "Hauptbedingung" bezeichnet hast, üblicherweise als "Nebenbedingung" bezeichnet wird.

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Da hast du völlig recht. Das ist auch die Nebenbedingung.

Das kommt wenn man zu viele von diesen blöden Aufgaben macht und in 99.9% der Aufgaben ist das Produktionsniveau mit einem bestimmten Budget zu maximieren. Und dann kommt eine Aufgabe wo dann mal das Produktionsniveau gegeben ist und das Budget zu minimieren ist.

Ich änder das aber gerne.

Schade das das dem Fragesteller nicht aufgefallen war.

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Nein, aufgefallen ist mir das nicht. Im Endeffekt war ich gestern Abend einfach froh, dass irgendjemand mir eine Antwort gegeben hat und hab mir gedacht ich lass es gut sein für heute.

Eine andere Frage, wenn du Redakteur bist. Warum arbeitest du dann am Freitag um 21:00 Uhr noch. Kannst du dir das selbst einteilen oder machst du in deiner Freizeit auch Aufgaben?

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Ich arbeite hier nur in meiner Freizeit zum Wohle der Schüler.

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Ok dachte du bist Mitarbeiter von mathelounge.

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Nein. Redakteur ist hier nur ein Status für jemanden der schon länger dabei ist und Rechte hat auch mal eine Frage zu editieren.