Normalverteilung < oder ≤

Question

Hallo ich habe eine Frage bezüglich der Normalverteilung :

Eine Maschine produziert 500mm lange Schrauben mit einer Standardabweichung von 10mm. Die Länge der Schrauben kann als normalverteilt angesehen werden. Es wird die Lösung wie folgt angegeben:

Die Länge der Schrauben ist normalverteilt mit Erwartungswert μ=500 und Standardabweichung σ=10. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube kürzer ist als 485 mm, also P(X≤485).
P(X≤k)≈Φ(k−μ/σ)
Setz die Werte ein.
P(X≤485)≈Φ(485−500/10)
Vereinfache.
=Φ(−1.5)=1−Φ(1,5)
Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
≈1−0,93319=0.06681

Doch kürzer als 485 ist doch X< 485 nicht X≤485?

Außerdem wird angegeben das man manchmal Φ(k+0,5−μ/σ) warum wurde es hier nicht getan sondern nur Φ(k−μ/σ)?

Tut mir leid für die lange Frage

Gruß

Answer 1

Doch kürzer als 485 ist doch X< 485 nicht X≤485?

Das dachte ich früher auch! Ich habe mir das jetzt so abgeleitet:

Du weißt vielleicht, dass \(0.99999999999...=1\) ist, wenn nicht:

Wenn du also kleiner als 485mm hast, dann wäre \(484.999999...=485\)

Außerdem wird angegeben das man manchmal Φ(k+0,5−μ/σ)

Das benutzt man, wenn  du eine Binomialverteilung (mit hohem Wert für \(n\)) durch die Normalverteilung approximieren willst. Wenn \(\text X\sim\text B(n;p;k)\) dann gilt:$$\displaystyle\text P(\text X\leq k)\approx\Phi\left(\frac{k+0,5-\mu}{\sigma}\right)$$

Comments

Aber Aufpassen! Das geht hier nur, weil die Einheit Milligramm das hergibt.

Du kannst keine 2.999999999999... Kuscheltiere haben.

Dumme Aufgabe zum Zeigen:

Die Carrée GmbH produziert durchschnittlich \(\mu=12\) Teddies pro Tag. Beobachtungen haben ergeben, dass dieser Wert um \(\sigma=2\) Teddies pro Tag abweicht.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(9\) oder weniger hergestellt werden?$$P(X<9)=\Phi\left(\frac{9-12}{2}\right)$$$$P(X<9)=\Phi\left(-1.5\right)$$$$P(X<9)=1-\Phi\left(1.5\right)$$$$P(X<9)=1-0.93319=0.06681$$

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habe mich nun registriert, würde dann nicht P(X<=9)=Φ(8−12/2) gelten, da ja weniger als 9 höchstens 8 ist ?

Dachte die Formel gilt nur für <=

Gruß

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Ja, haha du hast recht! Muss 8 sein. Da hab ich mich selbst ausgetrickst. Aber ich hoffe nun ist alles klar.

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Ist die Anzahl an Teddies die pro Tag produziert werden Normalverteilt ?

Das kommt immer darauf an. Ob es immer eine natürliche Anzahl an Teddies ist die Produziert wird oder jeder beliebige Zwischenwert auch möglich ist.

Gibt es also 10.937852012638746105198357 Teddies am Tag ?

Bei der Normalverteilung ist die Einzelwahrscheinlichkeit P(X = k) = 0 !!

Nun gilt aber

P(X < k) + P(X = k) = P(X <= k)

P(X < k) + 0 = P(X <= k)

P(X < k) = P(X <= k) !!

Weniger als 9 heißt in der Normalverteilung also nicht höchstens 8. Bei der Normalverteilung ist es egal ob es weniger als 9 oder höchstens 9 sind. Die Wahrscheinlichkeit ist die gleiche.

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dass 9 oder weniger bedeutet aber P(X <= 9) weil 9 auch möglich ist.

Und wie gesagt wenn auch beliebig kleine Teile von Teddies hergestellt werden können und die Anzahl damit normalverteilt ist, dann ist es egal ob man schreibt P(X <= 9) oder P(X < 9). Folgt die Anzahl der Teddies aber einer diskreten Verteilung dann ist das nicht egal.

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Na Toll! Sorry @Soka1