komplexe gleichung lösen

Question

Berechnen sie eine komplexe Lösung der Gleichung z^6 +32+√3072 • j= 0 .

Answer 1

z^6 +32+√3072 •i= 0

z^6 =- 32-√3072 •i

|z₁|=√1024 +3072) = 64

tan(φ)= -√3072 /-32 =1.732  , n=6

φ= 60°(3.Quadrant) ------>

φ =60° +180°= 240° =(4/3) *π

allgemein: z_k =|z₁|e ^ i (φ+2kπ)/n , (k=0,1,2,3,4,5)

z₀= 64^{1/6} e ^ i((2/9) *π

z₀= 2 e ^ i((2/9) *π = 2(cos (40°)+i sin(40°)

z_0≈1.532 + i1.2856

Answer 2

   Ich werde nicht müde, es zu predigen . Wurzel Ziehen geht nur, wenn du die Primfaktorenzerlegung hast:

     3 072  =  3  *  1 024  =  2  ^ 10  *  3      (  1a  )

    sqr  (  3 072  )  =  2  ^  5  sqr  (  3  )     (  1b  )

    Damit hast du

    z  ^  6  =  -  32  (  1  +  i  *  3  ^  1/2  )     (  2a  )

    Berechnen wir den Betrag der Klammer nach Pythagoras:

     |  z  ^  6  |  =  2  ^  6  ===>  |  z  |  =  2     (  2b  )

   Wären Real-und Imagteil positiv, so hättest du einen Phasenwinkel von 60 ° , denn tg ( 60 ) = sqr ( 3 )  So sind es 60 - 180 =  (  -  120  )   Dies geteilt durch 6 ergibt die erste Lösung : ( - 20 ° )  Dieser Winkel ist berüchtigt; ein Winkel von 60 ° lässt sich nicht mit Zirkel und Lineal drei teilen; bzw. das Regel mäßige 18_Eck istr nicht konstruierbar .

   Jetzt kommen noch die ===> primitiven sexten  ( PSE ) Einheitswurzeln ins Spiel; am Ursprung gespiegelt erhältst du 160

     cos  (  160  )  =  -  cos  (  20  )  ;  sin  (  160  )  =  sin  (  20  )      (  3a  )

    eine PSE hat ja Phase 60 °  ;  60  -  20  =  40 .   Dazu die komplex konjugierte:  - 20 - 60  =  (  -  80  )

    Jetzt noch 120 : 120  -  20  =  100 °  . 

    cos  (  100  )  =  -  cos  (  80  )  ;  sin  (  100  )  =  sin  (  80  )     (  3b  )

   wieder die komplex konjugierte  - 120  - 20  =  - 140  =  -  180  +  40     (  3c  )