Sei V ein K vektorraum und φ: V-> V und eine lineare Abblidung mit φ°φ= φ.... Hat φ nur Eigenwerte 0 und 1?

Question

Hallo ich brauche Hilfe bei der Aufgabe

Sei V ein K-Vektorraum und φ : V -> V und eine lineare Abbildung mit φ°φ= φ.

a) Zeigen Sie, dass φ nur die Eigenwerte 0 und 1 haben kann.
b) Beschreiben Sie alle Endomorphismen φ : V -> V mit φ°φ= φ, die nur den Eigenwert 0 besitzen.
c) Beschreiben Sie alle Endomorphismen φ : V -> V mit φ°φ= φ, die nur den Eigenwert 1 besitzen.
d) Geben Sie einen Vektorraum V und einen Endomorphismus φ : V -> V an, der die Eigenwerte 0 und
1 besitzt.

Ich hoffe mir kann jemand helfen, Danke schon mal

Liebe Grüße

Answer 1

a) Sei v ein Eigenvektor von φ zum, Eigenwert k.

==>   φ (v) = k*v     #  nach Def. Eigenwert

und wegen φoφ = φ  also

k*v = φ ( φ (v)) = φ (k*v) = k* φ (v)  [ da φ  linear ]

                                      = k*k*v  ( nach # )

==>  k*v = k^2*v

==>  (k-k^2) * v = 0

und weil v nicht der Nullvektor ist (Eigenvektor)

 ist also  k-k^2 = 0 <=>  k=0 v k=1.