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Es sei f : ℝ → ℝ eine zweimal differenzierbare Funktion mit f ''(x) > 0 für alle x ∈ ℝ.

Zeigen Sie: Die Tangente an den Graphen von f in einem beliebigen Punkt
x0 ∈ ℝ besitzt keine weiteren Schnittpunkte mit dem Graphen.

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f ''(x) > 0 für alle x ∈ ℝ.


bedeutet, dass die der Graph immer in die gleiche Richtung (z.B. nach links)  gekrümmt ist.

So wie z.B. f(x) = e^x, g(x) = x^2 oder ein Kreis (Kreis ist hier aber ausgeschlossen, da keine Funktion auf ganz R). Tangenten haben nur einen Punkt mit dem Graphen gemeinsam.

Hallo

 was bedeutet denn f''>0 für das Krümmngsverhalten der funktion? das musst du benutzen.

Gruß ledum

es bedeutet, dass f konvex ist. mir fehlt es lediglich an einem Beweis, der Sinn der Aussage ist mir klar und auch verständlich, wie könnte ich diesen angehen?

Keine Ahnung, daher oben nur ein Kommentar :)

Vielleicht kannst du etwas mit dem Vorzeichen der Differenz von f und der Tangente t machen. Die Differenz kannst du ja auch formal zwei mal ableiten. Du müsstest aber zeigen, dass die Differenz selbst nur an einer Stelle 0 sein kann.

Du musst folgende Ungleichung herleiten:

https://mathepedia.de/Konvexe_und_konkave_Funktionen.html

Du brauchst noch einen mathematisch formulierten
Beweis ?

Ansonsten hat Lu doch schon alles gesagt.

Die Tangente ist eine Gerade mit Krümmung null.

Die Funktion ist stets linksgekrümmt, führt also
stets von der Geraden weg.

Sowohl vor dem Berührpunkt als auch danach.

2 Antworten

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  Soll mal einer sagen, ich hätte hier nix gelernt .  Es handelt sich um zweimalige Anwendung des  MWS .  Hier sollte mal der bekannte Satz bewiesen werden


   (V)  x  |  f  '  (  x  )  >  0  ===>  streng monoton wachsend    (  1  )


    und als Hinweis war gegeben: Benutze den  MWS  .  Genau so machen wir es hier.  Angenommen  keine  ( noch so große )  offene Umgebung


                    a  <  x0  <  b       (  2  )


           welche deinen Berührpunkt x0 enthält,    enthält einen weiteren Schnittpunkt  X  . Dann sind wir fertig .


                                                  x1

    f  '  (  x1  )  =  f  '  (  x0  )  +    $       f  "  (  x  )  dx         (  3a  )

                                                  x0



        D.h. wir machen hier entscheidend von dem Hauptsatz Gebrauch,  dass f '  die Aufleitung von  f  "  ist .  Dann kannst du aber das  Integral mit Hilfe des  MWS   umschreiben


     (E) x_m = x_m ( x0 ; x1 ) |  f  ' ( x1 ) = f ' ( x0 ) + ( x1 - x0 ) f " ( x_m )    (  3b  )


   Die 2. Ableitung in ( 3b ) war ja stets positiv.  Und so bald x1  >  x0 , stellt sich auch  f  '  als eine streng monoton wachsende Funktion heraus .

      (  f  '  ist monoton;  f nicht notwendig. Das Gegenbeispiel f ( x ) = x ²  wurde quasi unabsichtlich ja oben schon erwähnt.  )

    Widerspruchsbeweis  .  Angenommen  in ( 2 )   ergibt sich ein zweiter Schnittpunkt  x  =  b der Tangente mit der Kurve .  Zweite Anwendung des  MWS  ;  dann gibt es in dem Intervall   J  :=  (  x0  ,  b  )   ein  x_m  so dass die Tangente   g_x_m   parallel zu unserer Tangente  g_x0   .    ( Tangente g_x0 übernimmt praktisch die Rolle der Kurvensehne auf J )     Anders gesagt


        f  '  (  x0  )  =  f  '  (  x_m  )      (  4  )


    Und das ist ein Widerspruch, da wir   ja gesagt hatten, f ' ist STRENG  monoton

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MWS für f und Rolle für f' .

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