DGL: Separation der Variablen oder Variation der Konstanten?

Question

Ich brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe

a) Berechne die Lösung der Anfangswertaufgabe

x´(t)+2x(t)=exp(-3t), x(0)=1, t≥0

b) Berechnen Sie alle zeitunabhängigen Lösungen der Differentialgleichung

x´(t)=x(t)(1-x(t)²)

Mein Problem hierbei liegt darin, dass ich nie weiß wann ich Separation der Variablen mache und wann Variationen der Konstanten und es wäre toll wenn mir jemand helfen könnte

Answer 1

Aufgabe 1) Variation d Konstanten, zum Schluß die AWB einsetzen.

Aufgabe 2) Trennung d . Variablen

Bei Trennung der Variablen hast Du folgende Struktur:

y '(x)= f(x) *g(y)

bei Variation der Konstanten:

y' +a(x) *y=b(x)

oder anders gesagt, Du muß alles mit der einen Variablen auf die eine Seite bringen,

alles mit der anderen Variable auf die andere Seite bringen.

also bei Aufgabe b)

alles mit x auf die eine Seite, alles mit t auf die andere Seite.

x´(t)=x(t)(1-x(t)^2)

dx/dt=x(1-x^2)

∫ dx/(x(1-x^2))= ⌈ dt

Lösung Aufgabe 2)

x(t) = ± e^t/ √(C₁ + e^{2 t})

Aufgabe 1:

x´(t)+2x(t)=e^{-3t}

dx/dt +2x=e^{-3t}

Du kannst hier niemals  x und t jeweils auf eine Seite bringen.

Lösung:

x(t) = e^{-3 t} (2 e^t - 1)

Answer 2

  Du kommst sogar mit dem klassischen e-Ansatz durch .

     x  (  t  )  =  A  exp  (  k  t  )      (  1  )

   Zunächst der ===>  Kern, die ( allgemeine ) homogene Basislösung .

     ( dx/dt )  +  2  x  (  t  )  =  0       (  2a  )

  A  (  k  +  2  )  exp  (  k  t  )  =  0    (  2b  )

   Jetzt Koeffizientenvergleich  ( KV  )       Die Lösung  A  =  0 wäre ja trivial. Nur die Klammer kann Null werden, die e-Funktion nicht  ===>  k  =  (  -  2  )

    x_hom  (  t  )  =  A  exp  (  -  2  t  )        (  2c  )

    dies muss bereits die allgemeinste Basisfunktion sein, da eine  DGL  erster Ordnung nur einen Freiheitsgrad hat.

  ( dx/dt )  +  2  x  (  t  )  =  exp  (  -  3  t  )      (  3a  )

   Abermals bewährt sich Ansatz   (  1  )

    A  (  k  +  2  )  exp  (  k  t  )  =  exp  (  -  3  t  )          (  3b  )

      Hier nun zeitigt der KV  etwas andere Ergebnisse .  Zunächst k =  (  -  3  )  Setzen wir dieses Resultat in die Klammer ein, so folgt  A  =  (  -  1  )    Inhomogene Sonderlösung

    x_Son  (  t  )  =  -  exp  (  -  3  t  )          (  3c  )

Bei der Anfangswertaufgabe sagt er t > = 0 .  Hattet ihr schon Fouriertransformation?

   Weil stell dir vor, es gäbe ein Filter, das nichts  weiter tut, als die gelbe Natrium-D-Linie zu absorbieren.  Und auf der Sonne bricht jetzt eine Protuberanz aus, die dauert genau eine µ sec  .    Je peaker der Blitz oder Puls, desto breiter sein Frequenzspektrum ===>  Abtastteorem.  Alle Radiobastler wissen das;  willst du Nachrichten mit hohem Informationsgrad übertragen, brauchst du immer einen Resonanzkreis mit einer breiten, undefinierten Resonanz und hoher Dämpfung .

   Und wenn nun das Gelbfilter jene eine Linie heraus trennt, dann ergibt die Superposition der restlichen Wellen ein Signal, das die Erde bereits erreicht hätte 100 Mio Jahre  VOR  dem Ausbruch der Protuberanz .  Anhänger der Enterprise dürften den folgenden Satz verstehen:

   "  die Zeitmaschine muss so konstruiert sein, dass alle Interferenzen in die Vergangenheit hinein destruktiv sind. "

   ===>  Kramers_Kronig_Teorem;  in der Nähe einer scharfen Resonanz hast du auch immer starke ===> Dispersion; d.h. Brechzahl ( und damit die Lichtgeschw. ) sind wellenlängenabhängig .

   Du siehst; die Physik ist ernstlich bemüht, Akausalitäten zu vermeiden.  Schon Ludwig Boltzmann fragte im Jahre 1903

  " Warum beweist ein Dinoknochen, dass dort VOR   500 Mio Jahren ein Dino rumlief und nicht IN  500 Mio Jahren?

  Warum gibt es keine Dokumente über die Zukunft?

   Nicht einmal den leisesten Hinweis, was innerhalb der nächsten Sekunde geschehen wird? "

   Nun; ich beanspruche, dieses Jahrhunderträtsel gelöst zu haben; wenn Interesse besteht ...

   Aber zurück zu deiner Anfangsbedingung. Wir müssen einsetzen in  ( 2c;3c )

     A  -  1  =  1  ===>  A  =  2     (  4  )