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Eine parabel 4. Ordnung y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e hat in O(0/0) einen Wendepunkt mit der x -Achse als wendetangente und im Punkt N (-4/0) einen schnittpunkt mit der x-Achse. Finde die Funktion!
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1 Antwort

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solche Aufgaben werden als "Steckbriefaufgaben" bezeichnet. 

 

Die Funktionsgleichung allgemein lautet für eine Funktion 4. Grades:

y = f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx +e

f'(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d

f''(x) = 12ax2 + 6bx + 2c

f'''(x) = 24ax + 6b

Die Funktion geht durch (0|0), also

f(0) = a*04 + b*03 + c*02 + d*0 + e = 0

Sie hat dort einen Wendepunkt, also f''(0) = 0:

f''(0) = 12a*02 + 6b*0 + 2c = 0

Sie hat dort die x-Achse als Tangente, also den Anstieg 0: f'(0) = 0

f'(0) = 4a*03 + 3b*02 + 2c*0 + d = 0

Und sie geht durch den Punkt (-4|0), also f(-4) = 0

f(-4) = 256a - 64b = 0

256a = 64b

4a = b

Für die eindeutige Bestimmung einer Funktion 4. Grades brauchen wir 5 Informationen, wie haben aber nur 4;

deshalb ist eine eindeutige Bestimmung der gesuchten Funktion nicht möglich!

Mögliche Funktionen 4. Grades, die die gegebenen Bedingungen erfüllen, wären zum Beispiel: 

f(x) = x4 + 4x3

oder

f(x) = 2x4 + 8x3 

oder

f(x) = -x4 - 4x3

 

Besten Gruß

von 32 k

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