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Hat jemand einen Lösungsvorschlag oder eine Idee??

Vielen Dank

f(x,y) = y + xe^y - 2

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Nach \(x\) aufloesen ist zwar nicht direkt gefragt, geht aber offensichtlich sogar global: \(x=(2-y)e^{-y}\). Das bietet Dir die Chance, die Kurve zu plotten. Fang mal damit an.

Hallo

 du solltest den Satz über implzite funktionen in deinem skript oder Buch nachlesen.

Gruß lul

1 Antwort

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  Natürlich; zu jedem y findest du ein eindeutiges  x , wenn ich das auflöse . Das brauchst du auf jeden Fall; ich nenne es den " Funktionskeim "

  

     x  =  (  2  -  y  )  exp  (  -  y  )      (  1  )


   Aber Funktion  (  1  ) ist nicht umkehrbar,  wie du durch elementare Kurvendiskussion ersiehst .


    ( dx/dy )  =  0  =  (  y  -  2  -  1  )   exp  (  -  y  )  =    (  2a  )

                            =  (  y  -  3  )  exp  (  -  y  )     (  2b  )


   Das ergibt dann


     (  y  |  x  )_min  =  (  3  |  - 1 / e  ³  )      (  2c  )


   Aus dem Minimum so wie der Asymptotik fogt eindeutige Umkehrbarkeit für  x > = 0 ;  ansonsten ist sie zweideutig, also nur lokal definiert .===>  Lambertsche W-Funktion .   ( 2c ) ist also unheimlich wichtig für den  Keim der Funktion y = f ( x )  ; so lange  x > ( - 1 / e ³ )  , wissen wir, dass er existiert .  Denn das IFT  erlaubt dir keine Luftschlösser zu bauen; du musst eine konkrete Lösung angeben .

    Hinreichende Bedingung; die Funktion y = f ( x ) ist differenzierbar auf einer ( offenen ) Umgebung um ( x0 | y0 ) ,  falls f_y  >  0  . Rechnen wir es nach


    f_y  (  x  ;  y  )  =  1  +  x  exp  (  y  )        (  3  )


    Und was das ergibt, lässt sich in ( 1 ) wunderbar nachrechnen: Alle y außer y0 = 3 .     Wir hatten ja ausdrücklich gesagt:  An Zweideutigkeiten schert sich das IFT nicht; so viel ist jeden Falls sicher:  Zu jedem y_Wert  gibt es ein y = f ( x )  .  Bei y0 = 3 hast du zunächst keine Aussage; wir sagten schon. Die Bedingung ist nur hinreichend, nicht notwendig .

   Aber in y0 = 3 hast du doch diese horizontale Tangente . Da passieren also gleich zwei schlimme Dinge;  erstens gibt es wegen dem Minimum auch lokal keine Umkehrfunktion . Und zweitens würde die Kurventangente ja vertikal verlaufen; y ' = ( °° )

   Und jetzt zu deiner Taylorreihe; zunächst mal ist f ( 0 ) = 2 .  Jetzt die erste Ableitung .   Na lernste endlich mal wat Vernünftijet. Neemich  ===>  implizites Differenzieren ( ID ) Aber ich predige ja tauben Ohren ...

   ( Für die ganz Schlauen; dazu benötigst du die Produkt_so wie die Kettenregel. )


    y  '  +  exp  (  y  )  +  x  y  '  exp  (  y  )  =  0      (  4a  )


   Doch die Tecjnik des ID ist eminent wichtig; ich will dich dahin bringen, dass du Aufgaben aus eigenem Antrieb auf diese Weise bewältigst .  Jetzt Einsetzen von x0 = 0 , wobei wir nicht vergessen dürfen  f  ( 0 ) = 2


     f  '  (  0  )  +  e  ²  =  0  ===>  f  '  (  0  )  =  -  e  ²     (  4b  )


    Den bescheidenen Rest solltest du jetzt alleine können .

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